$x+y+z=1$ eşitliğini sağlayan $x,y,z$ negatif olmayan tam sayıları için, $0\leq yz + zx +xy-2xyz \leq 7/27$ olduğunu kanıtlayınız.
Çözüm:
İlk önce $\ge$ $0$ gösterelim. Varsayalım $x,y,z$ pozitif gerçel sayılar olsun. O zaman $\text{Aritmetik Harmonik Orta}$ dan $\dfrac{x+y+z}{3}$ $\ge$ $\dfrac{3}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}$ dir. Paydaları eşitlersek $xy+yz+zx$ $\ge$ $9xyz$ elde edilir. O halde $xy+yz+zx$ $-$ $2xyz$ $\ge$ $7xyz$ $>$ $0$ olur. Sağlar. Eğer en az biri $0$ a eşitse $xy+yz+zx$ $\ge$ $2xyz$ $=$ $0$ olur ki sağlar. İlk şıkkı ispatladık.
Şimdi ikinci kısma bakalım. Schur'un gelişmiş versiyonundan $x,y,z \ge 0$ için $(x+y-z)(y+z-x)(x+z-y) \le xyz$ dir. Burada $x+y+z=1$ yerine koyarsak $xyz \ge (1-2x)(1-2y)(1-2z)=1-2(x+y+z)+4(xy+yz+zx)-8xyz$ yani $9xyz \ge 4(xy+yz+zx)-1$ olur. $2xyz \ge \dfrac{8}{9}.(xy+yz+zx)-\dfrac{2}{9}$ olur. Eğer $\dfrac{8}{9}.(xy+yz+zx)-\dfrac{2}{9} +\dfrac{7}{27}\ge yz + zx +xy$ gösterirsek ispat biter. Bunun için $ \dfrac{1}{3} \ge xy+yz+zx$ göstermemiz yeterlidir. Bu da $(x+y+z)^2 \ge 3(xy+yz+zx)$ olduğundan doğrudur.
Düzlemde farklı $O$ ve $A$ noktası veriliyor. Düzlemdeki $O$ dan farklı her $X$ noktası için, $a(X)$ ile $OA$ ve $OX$ doğruları arasındaki, $OA$ dan saat yönünün tersi yöndeki $(0 \leq a(X) < 2\pi)$ açının radyan cinsinden değerini gösterelim. $C(X)$, $O$ merkezli ve $OX+a(X)/OX$ uzunluktaki yarıçaplı çember olsun. Düzlemdeki her nokta, sonlu sayıdaki renklerden biri ile boyanıyor. $a(Y)>0$ olmak üzere, $C(Y)$ çemberinin üzerindeki en az bir nokta ile aynı renge sahip bir $Y$ noktasının bulunduğunu gösteriniz.
$ABCD$, $CD$ doğrusu $AB$ çaplı çembere teğet olan bir dörtgen olsun. $AB$ doğrusunun $CD$ çaplı çembere teğet olması için gerek ve yeter koşulun $BC$ ile $AD$ doğrularının paralel olması olduğunu kanıtlayınız.
Çözüm:
$AB$ nin orta noktası $O$, $CD$ nin orta noktası $Q$, $DC$ ile $AB$ nin kesişimi $E$ olsun. $O$ merkezli çember $CD$ ye $R$ de değsin. $Q$ dan $AB$ ye inilen dikmenin ayağı $S$ olsun.
Düzlemde, $n>3$ köşeli bir dışbükey çokgenin tüm köşegenlerinin uzunlukları toplamı $d$ olsun. $[ x ]$ ile $x$ i aşmayan en büyük tam sayı gösterilmek üzere; $$n-3<\dfrac{2d}p < \left[\dfrac n2\right] \left[\dfrac{n+1}{2}\right]-2$$ olduğunu kanıtlayınız.
$a,b,c,d$; $0<a<b<c<d$ ve $ad=bc$ şartlarını sağlayan tek tam sayılar olsun. Bazı $k$ ve $m$ tam sayıları için $a+d=2^k$ ve $b+c=2^m$ ise, $a=1$ olduğunu kanıtlayınız.