$x+y+z=1$ eşitliğini sağlayan $x,y,z$ negatif olmayan tam sayıları için, $0\leq yz + zx +xy-2xyz \leq 7/27$ olduğunu kanıtlayınız.

Aşağıdaki özellikleri sağlayan bir $a,b$ pozitif tam sayı ikilisi bulunuz:

• $ab(a+b)$ sayısı $7$ ile bölünmez;
• $(a+b)^7 - a^7-b^7$ sayısı $7^7$ ile bölünür.

Cevabınızı açıklayınız.

Düzlemde farklı $O$ ve $A$ noktası veriliyor. Düzlemdeki $O$ dan farklı her $X$ noktası için, $a(X)$ ile $OA$ ve $OX$ doğruları arasındaki, $OA$ dan saat yönünün tersi yöndeki $(0 \leq a(X) < 2\pi)$ açının radyan cinsinden değerini gösterelim. $C(X)$, $O$ merkezli ve $OX+a(X)/OX$ uzunluktaki yarıçaplı çember olsun. Düzlemdeki her nokta, sonlu sayıdaki renklerden biri ile boyanıyor. $a(Y)>0$ olmak üzere, $C(Y)$ çemberinin üzerindeki en az bir nokta ile aynı renge sahip bir $Y$ noktasının bulunduğunu gösteriniz.

$ABCD$, $CD$ doğrusu $AB$ çaplı çembere teğet olan bir dörtgen olsun. $AB$ doğrusunun $CD$ çaplı çembere teğet olması için gerek ve yeter koşulun $BC$ ile $AD$ doğrularının paralel olması olduğunu kanıtlayınız.

Düzlemde, $n>3$ köşeli bir dışbükey çokgenin tüm köşegenlerinin uzunlukları toplamı $d$ olsun. $[ x ]$ ile $x$ i aşmayan en büyük tam sayı gösterilmek üzere; $$n-3<\dfrac{2d}p < \left[\dfrac n2\right] \left[\dfrac{n+1}{2}\right]-2$$ olduğunu kanıtlayınız.

$a,b,c,d$; $0<a<b<c<d$ ve $ad=bc$ şartlarını sağlayan tek tam sayılar olsun.   Bazı $k$ ve $m$ tam sayıları için $a+d=2^k$ ve $b+c=2^m$ ise, $a=1$ olduğunu kanıtlayınız.