Eş olmayan, sırasıyla $O_1$ ve $O_2$ merkezli düzlemdeş $C_1$ ve $C_2$ çemberlerinin kesiştiği iki farklı noktadan biri $A$ olsun. Bu çemberlerin ortak teğetlerinden biri $C_1$ e $P_1$ de, $C_2$ ye $P_2$ de; diğeri de $C_1$ e $Q_1$ de, $C_2$ ye $Q_2$ de dokunmaktadır. $M_1$, $P_1Q_1$ in orta noktası; $M_2$, $P_2Q_2$ nin orta noktası olsun. $\angle O_1AO_2 = \angle M_1AM_2$ olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
İki çemberin diğer kesişimi $B$ olsun. $P_1P_2$, $Q_1Q_2$, $O_1O_2$ doğruları $Q$ da kesişsin. $AB$ doğrusu, $P_1P_2$ yi $P$ de kessin. Açık şekilde, $P_1Q_1$ ile $O_1O_2$ doğruları birbirlerine $M_1$ de dik; $P_2Q_2$ ile $O_1O_2$ de birbirlerine $M_2$ de diktir. $\triangle O_1P_1M_1 \sim \triangle O_2P_2M_2$ olduğu için $$\dfrac{O_1P_1}{O_1M_1} = \dfrac{O_2P_2}{O_2M_2} \Rightarrow \dfrac{O_1A}{O_1M_1} = \dfrac{O_2A}{O_2M_2} \tag{*}$$ $P$ noktası kuvvet ekseni üzerinde olduğu için $PP_1 = PP_2$, dolayısıyla da $P_1P_2M_2M_1$ dik yamuğunda, $AB$ doğrusu orta taban olacaktır. Böylece, $M_1A = AM_2$ ve $\angle AM_1O_1 = \angle AM_2O_1$ olmuş oldu. $O_1O_2$ üzerinde bir $M$ noktası, $\triangle AM_1O_1 \cong \triangle AM_2M$ olacak şekilde alınsın. $AM=AO_1$ ve $MM_2 = M_1O_1$ dir. Bu durumda, $(*)$ dan dolayı $$\dfrac{AM}{MM_2} = \dfrac{O_2A}{O_2M_2}$$ olur. Bu da, $AM_2$ nin, $\angle MAO_2$ nin açıortayı olduğu anlamına gelir. Bu durumda, $$\angle O_2AM_2 = \angle M_2AM= \angle M_1AO_1 \Longrightarrow \angle M_1AM_2 = \angle O_1AO_2$$ olur.
$a,b,c$; herhangi ikisinin $1$ den büyük bir ortak böleni olmadığı pozitif tam sayılar olsun. $x,y,z$ negatif olmayan tam sayılar olmak üzere, $xbc+yca+zab$ şeklinde ifade edilemeyen en büyük tam sayının $2abc-ab-bc-ca$ olduğunu gösteriniz.
$ABC$ bir eşkenar üçgen ve $\mathcal{E}$ $AB$, $BC$ ve $CA$ doğru parçalarının üzerindeki ($A,B,C$ dahil) tüm noktaların kümesi olsun. $\mathcal{E}$ nin her iki ayrık alt kümeye parçalanışı için, bu alt kümelerden en az birinin bir dik üçgenin köşelerini içerip içermediğini belirleyiniz. Cevabınızı açıklayınız.
Herhangi üçü bir aritmetik dizinin ardışık üç terimi olmayacak şekilde, her biri $10^5$ e eşit ya $10^5$ ten küçük $1983$ tane pozitif tam sayı bulmak mümkün müdür? Cevabınızı açıklayınız.
$a,b,c$ bir üçgenin kenar uzunlukları olsun. $$a^2b(a-b)+ b^2c(b-c)+c^2a(c-a) \geq 0$$ olduğunu gösteriniz. Eşitliğin ne zaman sağlandığını belirtiniz.
Çözüm:
(Mehmet Utku Özbek)
$a \ge b \ge c$ olsun. O zaman $\dfrac{1}{a} \le \dfrac{1}{b} \le \dfrac{1}{c}$ dir. Ve aynı zamanda $a(b+c-a) \le b(a+c-b) \le c(a+b-c)$ dir. Şimdi bu iki sıralamaya yeniden düzenleme eşitsizliği uygulayalım.