Geomania.Org Forumları

Aşağıdaki koşulları sağlayan, pozitif gerçel sayılar üzerinde tanımlanmış ve pozitif gerçel değerler alan tüm $f$ fonksiyonlarını bulunuz.

• Tüm pozitif $x,y$ sayıları için, $f\left(xf(y)\right) = yf(x)$;
• $x\rightarrow \infty$ iken $f(x)\rightarrow 0$.

Eş olmayan, sırasıyla $O_1$ ve $O_2$ merkezli düzlemdeş $C_1$ ve $C_2$ çemberlerinin kesiştiği iki farklı noktadan biri $A$ olsun. Bu çemberlerin ortak teğetlerinden biri $C_1$ e $P_1$ de, $C_2$ ye $P_2$ de; diğeri de $C_1$ e $Q_1$ de, $C_2$ ye $Q_2$ de dokunmaktadır. $M_1$, $P_1Q_1$ in orta noktası; $M_2$, $P_2Q_2$ nin orta noktası olsun. $\angle O_1AO_2 = \angle M_1AM_2$ olduğunu gösteriniz.

$a,b,c$; herhangi ikisinin $1$ den büyük bir ortak böleni olmadığı pozitif tam sayılar olsun. $x,y,z$ negatif olmayan tam sayılar olmak üzere, $xbc+yca+zab$ şeklinde ifade edilemeyen en büyük tam sayının $2abc-ab-bc-ca$ olduğunu gösteriniz.

$ABC$ bir eşkenar üçgen ve $\mathcal{E}$ $AB$, $BC$ ve $CA$ doğru parçalarının üzerindeki ($A,B,C$ dahil) tüm noktaların kümesi olsun. $\mathcal{E}$ nin her iki ayrık alt kümeye parçalanışı için, bu alt kümelerden en az birinin bir dik üçgenin köşelerini içerip içermediğini belirleyiniz. Cevabınızı açıklayınız.

Herhangi üçü bir aritmetik dizinin ardışık üç terimi olmayacak şekilde, her biri $10^5$ e eşit ya $10^5$ ten küçük $1983$ tane pozitif tam sayı bulmak mümkün müdür? Cevabınızı açıklayınız.

$a,b,c$ bir üçgenin kenar uzunlukları olsun. $$a^2b(a-b)+ b^2c(b-c)+c^2a(c-a) \geq 0$$ olduğunu gösteriniz. Eşitliğin ne zaman sağlandığını belirtiniz.