Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 1982

$f(n)$, tüm pozitif $n$ tam sayıları için tanımlanmış, negatif olmayan tam sayı değerler alan bir fonksiyondur. Ayrıca, her $m,n$ için $$f(m+n) -f(m)-f(n) = 0 \text{ veya } 1$$ $$f(2)=0, f(3)>0, \text { ve } f(9999) = 3333$$ dir. $f(1982)$ yi belirleyiniz.

Kenarları $a_1,a_2,a_3$ ($a_i$, $A_i$ nin karşısındaki kenar) olan ikizkenar olmayan $A_1A_2A_3$ üçgeni veriliyor. Her $i=1,2,3$ için; $M_i$ ile $a_i$ kenarının orta noktasını, $T_i$ ile içteğet çemberin $a_i$ kenarına dokunduğu noktayı gösteriyoruz. $T_i$ nin $A_i$ açısının iç açıortayına göre simetriğini $S_i$ ile gösteriyoruz. $M_1S_1$, $M_2S_2$ ve $M_3S_3$ doğrularının noktadaş olduğunu gösteriniz.

Aşağıdaki özelliklere sahip sonsuz pozitif gerçel sayılar dizisi ${x_n}$ i ele alalım:
$x_0=1, \text{ ve her } i\geq 0 \text{ için, } x_{i+1}\leq x_i$

• Bu tipteki her dizi için, $$\dfrac{x_0^2}{x_1} + \dfrac{x_1^2}{x_2}+\dots + \dfrac{x_{n-1}^2}{x_n} \geq 3,999$$ olacak şekilde bir $n\geq 1$ sayının bulunduğunu kanıtlayınız.
• $$\dfrac{x_0^2}{x_1} + \dfrac{x_1^2}{x_2}+\dots + \dfrac{x_{n-1}^2}{x_n} < 4$$ eşitsizliğini sağlayan, yukarıda anlatılan şekilde bir dizi bulunuz.

$n$ pozitif tam sayısı için,
$$x^3-3xy^2 + y^3 = n$$ denkleminin tam sayılarda bir $(x,y)$ çözümü varsa, denklemin en az üç çözümünün olduğunu kanıtlayınız. $n=2891$ için, denklemin çözümünün olmadığını gösteriniz.

$ABCDEF$ düzgün altıgeninin $AC$ ve $CE$ köşegenleri üzerinde $$\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{CN}{CE} = r$$ olacak şekilde sırasıyla $M$ ve $N$ noktaları alınıyor. $B$, $M$, $N$ noktaları doğrudaş ise, $r$ yi belirleyiniz.

$S$ bir kenarı $100$ olan bir kare olsun. $L$, bu kare içerisinde kendini kesmeyen ve $A_0 \neq A_n$ olmak üzere $A_0A_1$, $A_1A_2$, $\dots$, $A_{n-1}A_n$ doğru parçalarının birleşiminden oluşan bir yol olsun. $S$ nin üzerindeki her $P$ noktası için, $L$ nin üzerinde $P$ ye olan uzaklığı $1/2$ den büyük olmayan bir nokta bulunabildiğini varsayalım. $L$ üzerinde, aralarındaki uzaklık $1$ den büyük olmayan ve aralarındaki ($L$ deki) yol $198$ den küçük olmayan $X$ ve $Y$ noktalarının bulunduğunu kanıtlayınız.