$ABC$ üçgeninin içerisinde hareketli bir $P$ noktası alınıyor. $P$ den $BC$, $CA$, $AB$ kenarlarına inilen dikmelerin ayakları sırasıyla $D$, $E$, $F$ olmak üzere; $$\dfrac{BC}{PD}+\dfrac{CA}{PE}+\dfrac{AB}{PF}$$ yi en küçük yapan tüm $P$ noktalarını bulunuz.
Çözüm:
$BC=a$, $AC=b$, $AB=c$, $PD=x$, $PE=y$, $PF=z$ olsun. Cauchy'den $$\left ( \dfrac ax + \dfrac by + \dfrac cz \right) \cdot \left ( ax + by + cz \right) \geq \left ( \sqrt {\dfrac ax} \cdot \sqrt{ax} + \sqrt {\dfrac by} \cdot \sqrt{by} + \sqrt {\dfrac cz} \cdot \sqrt{cz}\right ) ^2 = (a+b+c)^2$$ $ax+by+cz = 2\cdot [ABC]$ olduğu için $$ \dfrac ax + \dfrac by + \dfrac cz \geq \dfrac{(a+b+c)^2}{2\cdot [ABC]} = \text{Sabit}$$ olacaktır. Eşitlik hali $$\dfrac{\sqrt{\frac ax}}{\sqrt {ax}} = \dfrac{\sqrt{\frac by}}{\sqrt {by}} = \dfrac{\sqrt{\frac cz}}{\sqrt {cz}} \Rightarrow x = y = z$$ iken sağlanır. O halde, $P$ noktası iç merkez olduğunda, $\dfrac{BC}{PD}+\dfrac{CA}{PE}+\dfrac{AB}{PF}$ ifadesi en küçük değerini alır.
$1\leq r \leq n$ olmak üzere, $\{1,2,\dots, n\}$ kümesinin $r$ elemanlı tüm alt kümelerini ele alalım. Bu alt kümelerin her birinin en küçük bir elemanı var. Bu en küçük sayıların aritmetik ortalamasını $F(n,r)$ ile gösterirsek, $$F(n,r) = \dfrac{n+1}{r+1}$$ olduğunu gösteriniz.
$m,n \in \{1,2\dots, 1981\}$ ve $(n^2-mn-m^2)^2 = 1$ koşullarını sağlayan $m$ ve $n$ tam sayıları için $m^2+n^2$ ifadesinin alabileceği en büyük değeri belirleyiniz.
Hangi $n>2$ değerleri için, en büyük elemanı diğer $n-1$ elemanın en küçük ortak katını bölecek şekilde $n$ ardışık pozitif sayıdan oluşan bir küme bulunur?
Hangi $n>2$ değerleri için, bu özelliği sağlayan tam olarak bir küme vardır?
Verilen bir üçgenin içerisinde ortak bir $O$ noktasına sahip üç eş çember, her biri üçgenin iki kenarına teğet olacak şekilde alınıyor. Üçgenin iç merkezi, çevrel merkezi ve $O$ noktasının doğrudaş olduğunu kanıtlayınız.
Çözüm:
$BC$ ye teğet olmayan çemberin merkezi $A'$, $AC$ ye teğet olmayan çemberin merkezi $B'$, $AB$ ye teğet olmayan çemberin merkezi $C'$ olsun. Çemberler eş olduğu için $A'B' \parallel AB$, $A'C' \parallel AC$, $B'C' \parallel BC$ olacaktır. Bu durumda $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C$. $AA'$, $BB'$, $CC'$ doğruları $\triangle ABC$ de iç açıortay olduğu için $\triangle A'B'C'$ de de iç açıortaydır. Dolayısıyla $\triangle ABC$ nin iç merkezi ile $\triangle A'B'C'$ nin iç merkezi çakışıktır. $BC$, $B'C'$ doğru parçalarının orta noktaları sırasıyla $D$, $D'$ olsun. $O$ noktası $\triangle A'B'C'$ nin çevrel merkezidir. $\triangle ABC$ nin çevrel merkezi de $Q$ olsun. $OD' \perp B'C'$ ve $QD \perp BC$ olduğu için $QD \parallel OD'$ dür. Üçgenler benzer olduğu için benzerlik oranı $k = \dfrac {ID'}{ID} = \dfrac{OD'}{QD}$ dir. Parallelikle bu eşitliği birleştirince, $I$, $O$, $Q$ noktalarının doğrusal olduğu sonucu çıkar.