$ABC$ üçgeninin içerisinde hareketli bir $P$ noktası alınıyor. $P$ den $BC$, $CA$, $AB$ kenarlarına inilen dikmelerin ayakları sırasıyla $D$, $E$, $F$ olmak üzere; $$\dfrac{BC}{PD}+\dfrac{CA}{PE}+\dfrac{AB}{PF}$$ yi en küçük yapan tüm $P$ noktalarını bulunuz.

$1\leq r \leq n$ olmak üzere, $\{1,2,\dots, n\}$ kümesinin $r$ elemanlı tüm alt kümelerini ele alalım. Bu alt kümelerin her birinin en küçük bir elemanı var. Bu en küçük sayıların aritmetik ortalamasını $F(n,r)$ ile gösterirsek, $$F(n,r) = \dfrac{n+1}{r+1}$$ olduğunu gösteriniz.

$m,n \in \{1,2\dots, 1981\}$ ve $(n^2-mn-m^2)^2 = 1$ koşullarını sağlayan $m$ ve $n$ tam sayıları için $m^2+n^2$ ifadesinin alabileceği en büyük değeri belirleyiniz.

Verilen bir üçgenin içerisinde ortak bir $O$ noktasına sahip üç eş çember, her biri üçgenin iki kenarına teğet olacak şekilde alınıyor. Üçgenin iç merkezi, çevrel merkezi ve $O$ noktasının doğrudaş olduğunu kanıtlayınız.

$f(x,y)$ fonksiyonu, her negatif olmayan $x,y$ tam sayıları için

• $f(0,y) = y+1$,
• $f(x+1,0) = f(x,1)$,
• $f(x+1,y+1) = f(x, f(x+1,y))$

koşullarını sağlıyor. $f(4,1981)$ i belirleyiniz.