Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 1999

Düzlemde aşağıdaki şartı sağlayan en az üç noktalı tüm $S$ sonlu kümelerini belirleyiniz:

$S$ deki herhangi iki farklı $A$ ve $B$ noktası için, $AB$ doğru parçasının orta dikmesi, $S$ nin bir simetri eksenidir.

$n\geq 2$ sabit bir tam sayı olsun.

• Aşağıdaki eşitsizliği, her $x_1, x_2,\dots, x_n \geq 0$ gerçel sayılarını için sağlayan en küçük $C$ sabitini bulunuz.
  $$\sum\limits_{1\leq i < j \leq n} x_ix_j(x_i^2+x_j^2) \leq C\left(\sum\limits_{1 \leq i \leq n} x_i \right)^4$$
• Bu $C$ sabiti için, eşitliğin hangi durumda sağlandığını belirleyiniz.

$n$ sabit bir pozitif çift sayı olmak üzere; $n\times n$ kareli bir tahta ele alalım. Tahta $n^2$ birim kareden oluşuyor. Ortak kenara sahip karelere komşu kareler diyoruz.
Tahtanın $N$ tane birim karesini, tahtadaki her kare (işaretli ya da değil) en az bir işaretlenmiş komşu kareye sahip olacak şekilde işaretliyoruz.
$N$ nin alabileceği en küçük değeri belirleyiniz.

Aşağıdaki koşulları sağlayan tüm $(n,p)$ pozitif tam sayı çiftlerini belirleyiniz:

$p$ asal,
$n\leq 2p$,
$(p-1)^n + 1$ sayısı $n^{p-1}$ ile bölünüyor.

$G_1$ ve $G_2$ çemberleri, $G$ çemberine sırasıyla, farklı $M$ ve $N$ noktalarında içten teğettir. $G_1$, $G_2$ nin merkezinden geçmektedir. $G_1$ ve $G_2$ nin kesiştiği noktalardan geçen doğru $G$ yi $A$ ve $B$ de kesmektedir. $MA$ ve $MB$ doğruları, $G_1$ ile sırasıyla $C$ ve $D$ de kesişmektedir. $CD$ nin $G_2$ ye teğet olduğunu kanıtlayınız.

Tüm $x,y$ gerçel sayıları için $$f\left(x-f(y)\right) = f\left(f(y)\right) + xf(y)+f(x)-1$$ koşulunu sağlayan tüm $f:\mathbf{R}\rightarrow \mathbf{R}$ fonksiyonlarını belirleyiniz.