$ABCD$ konveks dörtgeninde $AC$ ve $BD$ köşegenleri birbirine dik olup, $AB$ ve $DC$ kenarları paralel değildir. $AB$ ve $DC$'nin orta dikmelerinin kesiştiği $P$ notkasının $ABCD$'nin iç bölgesinde yer aldığı bilinmektedir. $ABCD$'nin bir kirişler dörtgeni olması için gerek ve yeter koşulun $ABP$ ve $CDP$ üçgenlerinin alanlarının eşit olması olduğunu gösteriniz.

Bir yarışmada, $b \geq 3$ bir tek sayı olmak üzere, $a$ yarışmacı ve $b$ hakem bulunmaktadır. Her hakem her yarışmacıyı ya "başarılı" ya da "başarısız" olarak değerlendiriyor. $k$ aşağıdaki özelliğe sahip bir sayı olsun: Herhangi iki hakemin en çok $k$ yarışmacı hakkındaki değerlendirmeleri çakışmaktadır. $$\dfrac ka \geq \dfrac {b-1}{2b}$$ olduğunu gösteriniz.

Her pozitif $n$ tam sayısı için, $d(n)$ ile $n$'nin ($1$ ve $n$ dahil olmak üzere) bölenlerinin sayısını gösterelim. $$\dfrac {d(n^2)}{d(n)}=k$$ olmasını sağlayacak biçimde bir $n$ sayısının bulunduğu tüm pozitif $k$ tam sayılarını bulunuz.

$ab^2+b+7$'nin $a^2b+a+b$'yi bölmesini sağlayan tüm $(a,b)$ pozitif tam sayı çiftlerini bulunuz.

$I$ ile, $ABC$ üçgeninin iç teğet çemberinin merkezini gösterelim. $ABC$'nin iç çemberinin $BC$, $CA$ ve $AB$ kenarlarına teğet olduğu noktalar sırasıyla $K$, $L$ ve $M$ olsun. $B$'den geçen ve $MK$'ya paralel olan doğru, $LM$ ve $LK$ doğrularını sırasıyla $R$ ve $S$ noktalarında kesiyor. $\angle RIS$'nin bir dar açı olduğunu gösteriniz.

$\mathbb{N}$ pozitif tam sayılar kümesini göstersin. $\mathbb{N}$'den $\mathbb{N}$'ye giden ve $\mathbb{N}$'ye ait her $s$, $t$ için $$f\left(t^2f(s)\right) = s\left(f(t)\right)^2$$ koşulunu sağlayan tüm $f$ fonksiyonlarını ele alalım. $f(1998)$'in alabileceği en küçük değeri bulunuz.