Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 1997 Çözümleri
« 1996 1998 »
« Sorulara Git
Geri

Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 1997 Çözümleri

1
Köşeleri düzlemdeki tam sayı koordinatlı noktalar olan birim karelere bakalım. Bu kareler (satranç tahtasındaki gibi) sırayla siyah ve beyaza boyanmış olsun. Her $(m,n)$ pozitif tam sayı çifti için, köşeleri tam sayı koordinatlı noktalar olan ve $m$ ve $n$ uzunluğundaki dik kenarları yukarıdaki karelerin kenarları üstünde bulunan bir dik üçgen alalım. $S_1$ ile bu üçgendeki siyah bölgelerin toplam alanını; $S_2$ ile de aynı üçgendeki beyaz bölgelerin toplam alanını gösterelim. $$f(m,n) = |S_1 - S_2|$$ olsun.
2
$A$ açısı $ABC$ üçgenindeki açıların en küçüğüdür. $B$ ve $C$ noktaları bu üçgenin çevrel çemberini iki yaya ayırıyor. $U$, $B$ ve $C$ arasındaki, $A$ noktasını içermeyen yayın bir iç noktası olsun. $[AB]$ ile $[AC]$'nin orta dikmeleri $AU$ doğrusunu sırasıyla $V$ ve $W$ noktlarında kesiyor. $BV$ ile $CW$ doğruları da $T$ noktasında kesişiyor. $$|AU|=|TB|+|TC|$$ olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
$CW$ çemberi $X$ noktasında kessin.
$\angle XBA = \angle XCA = \angle CAU$.
$\angle ABT = \angle BAU$.
$\angle BXC = \angle BAC = \angle BAU + \angle CAU = \angle ABT + \angle XBA = \angle XBT \Rightarrow XT=BT$
$AW=WC$ olduğu için $WU=XW$ dur. Bu durumda $AU = XC = XT + TC = BT + TC$ olur.
3
$x_1, x_2, \dots, x_n$, $|x_1+x_2+\dots+x_n|=1$ ve $i=1,2,\dots, n$ için $$|x_i| \leq \dfrac {n+1}2$$ koşullarını sağlayan gerçel sayılar olsun.
$x_1,x_2,\dots, x_n$'nin $$|y_1+2y_2+\dots + ny_n| \leq \dfrac {n+1}2$$ koşulu sağlanacak biçimde bir $y_1,y_2,\dots,y_n$ permüstasyonu bulunduğunu gösteriniz.
4
Elemanları $S=\{1,2,\dots, 2n-1\}$ kümesine ait bir $n\times n$ matrise ($n$ sütun ve $n$ satırdan oluşan kare biçimindeki bir tabloya), eğer her $i=1,\dots, n$ için $i$-inci satır ile $i$-inci sütun birlikte $S$'nin tüm elemanlarını kapsıyorsa, bir gümüş matris diyoruz.
5
$a\geq 1$, $b\geq 1$ olmak üzere, $$a^{\left(b^2\right)} = b^a$$ eşitliğini sağlayan tüm $(a,b)$ tam sayı sıralı ikililerini bulunuz.
Çözüm:
Bu soruyu $a>b$ olup olmamasına göre iki parçada inceleyelim.


$1)$ $1\le a\le b$ için çözüme bakalım.



$a\le b$ olduğunu kullanarak eşitsizlik kurmayı hedefleyelim.
 
$(a^b)^b=b^a$ şeklinde yazabiliriz. $a\le b$ den dolayı $a^b\le b $ olmazsa çözümün olamayacağı açıktır. 
$a^b-b$ ifadesinin türevini alalım. $\dfrac {d}{db} (a^b-b)=1.a^b.lna-1$  $b>a>e$  için $lna>1$ ve $a^b>1$ olacağı için  türev $0$'dan büyüktür Mesela $b=3$ alacak olursak  $a^3-3>0$ olduğunu gösterirsek $a^b-b$ nin daima pozitif olduğunu göstermiş oluruz.
$a>e>2$ $a^3>8$  yani $a^3-3>0$ elde edilir. Yani $a=1$ ya da $a=2$ olmalıdır.

$a=1$ olsun. O halde $b=1$ olması gerektiği açıktır.

$a=2$ olsun. $2^{b^2}=b^2$ $b^2=t$ dönüşümü yapalım.  $2^t=t$,  $2^t-t=0$ Şimdi bu ifade için türeve bir kez daha bakalım.
$2^t.ln2-1$ olur. Bu ifadeyi ise $ln2^{2^t}-1$ şeklinde yazdıktan sonra $t>1$ için türevin $0$ dan büyük olacağı açıktır. Aynı zamanda $2^2-2>0$ da sağlandığından dolayı daima $t>1$ için daima pozitiftir.  $t=1$ in de sağlamadığı açıktır.



$2)$ şimdi de $b>a\ge 1$ olsun.



$a^{b^2}=b^a=(a^b)^b$ den dolayı $a>b^2$ gelir yani $\dfrac{a}{b^2}>1$ elde edilir. Acaba $a=k.b^2$ eşitliğindeki $k$ sayısı daima bir pozitif tam sayı  olabilir mi diye düşünelim.

$(ab^{-2})^{b^2}=b^{a-2b^2}$ şeklinde yazarsak $ab^{-2}>1$ olduğu için $a-2b^2>0$ olacağı açıktır. $a>2b^2$ olur.

$\dfrac{a}{b^2}=\dfrac{k}{n}$ ,$k,n\in Z^+$ ve $(k,n)=1$  olsun.  Buradan $n.a.b^{-2}=k$  elde edilir.

Aşağıdaki adımları takip edelim.

$$k^{b^2}=n^{b^2}.a^{b^2}.(b^{-2})^{b^2}=n^{b^2}=n^{b^2}.b^{a-2b^2}$$  bu ifadeden dolayı $n\mid k$ olması gereklidir. $(k,n)=1$ olduğundan dolayı $n=1$ alınmalıdır. Artık  $a=k.b^2$  $a>2b^2$ yani $k\ge3,k\in Z^+$ olduğunu biliyoruz.

Bunu başlangıçtaki denklemde yerine koyacak olursak $k^{b^2}=(b^{k-2})^{b^2}$ olmalıdır. buradan $k=b^{k-2}$ buluruz.


 $k\ge 5$ için  $b^{k-2}-k\ge 2^{k-2}-k$ olur.  $\dfrac{d}{dk}( 2^{k-2}-k)=(k-2).2^{k-2}.ln2-1$ yani $2^{k-2}.ln2^{k-2}-1>0$ $k=5$ için ise $2^3-5=3>0$ olduğundan $k<5$ olmalıdır.


$k=3$ ise $3b^2=b^3$ yani $b=3$ elde edilir. $a=kb^2=27$ olur. $(27,3)$ çözümü gelir.

$k=4$ ise $4b^2=b^4$ yani $b=2$ elde edilir. $a=16$ olur.  $(16,2)$ çözümü gelir.


O halde denklemin çözüm kümesi $\{(1,1),(27,3),(16,2) \}$ olmalıdır.   
6
Her $n$ pozitif tam sayısı için, $n$'nin, $2$'nin negatif olmayan tam sayı kuvvetlerinin toplamı olarak yazılış biçimlerinin sayısını $f(n)$ ile gösterelim. Toplamda geçen terimlerin yalnızca sırasının değişik olduğu yazılış biçimlerinini aynı sayıyoruz. Örneğin $4$ sayısı; $4$, $2+2$, $2+1+1$, $1+1+1+1$ olarak dört şekilde yazılabileceğinden $f(4)=4$ olur. Her $n\geq 3$ tam sayısı için $$2^{\frac {n^2}{4}} < f\left(2^n\right) <2^{\frac {n^2}{2}} $$ olduğunu kanıtlayınız.