Köşeleri düzlemdeki tam sayı koordinatlı noktalar olan birim karelere bakalım. Bu kareler (satranç tahtasındaki gibi) sırayla siyah ve beyaza boyanmış olsun. Her $(m,n)$ pozitif tam sayı çifti için, köşeleri tam sayı koordinatlı noktalar olan ve $m$ ve $n$ uzunluğundaki dik kenarları yukarıdaki karelerin kenarları üstünde bulunan bir dik üçgen alalım. $S_1$ ile bu üçgendeki siyah bölgelerin toplam alanını; $S_2$ ile de aynı üçgendeki beyaz bölgelerin toplam alanını gösterelim. $$f(m,n) = |S_1 - S_2|$$ olsun.

• Her ikisi de tek veya her ikisi de çift pozitif $m$ ve $n$ tam sayıları için $f(m,n)$ değerini hesaplayınız.
• Her $m$ ve $n$ için $f(m,n)\leq \frac 12 \max\{m,n\}$ olduğunu kanıtlayınız.
• $f(m,n) < C$ koşulunu $m$ ve $n$'nin tüm değerleri için sağlayan bir $C$ sabitinin bulunmadığını gösteriniz.

$A$ açısı $ABC$ üçgenindeki açıların en küçüğüdür. $B$ ve $C$ noktaları bu üçgenin çevrel çemberini iki yaya ayırıyor. $U$, $B$ ve $C$ arasındaki, $A$ noktasını içermeyen yayın bir iç noktası olsun. $[AB]$ ile $[AC]$'nin orta dikmeleri $AU$ doğrusunu sırasıyla $V$ ve $W$ noktlarında kesiyor. $BV$ ile $CW$ doğruları da $T$ noktasında kesişiyor. $$|AU|=|TB|+|TC|$$ olduğunu gösteriniz.

$x_1, x_2, \dots, x_n$, $|x_1+x_2+\dots+x_n|=1$ ve $i=1,2,\dots, n$ için $$|x_i| \leq \dfrac {n+1}2$$ koşullarını sağlayan gerçel sayılar olsun.
$x_1,x_2,\dots, x_n$'nin $$|y_1+2y_2+\dots + ny_n| \leq \dfrac {n+1}2$$ koşulu sağlanacak biçimde bir $y_1,y_2,\dots,y_n$ permüstasyonu bulunduğunu gösteriniz.

Elemanları $S=\{1,2,\dots, 2n-1\}$ kümesine ait bir $n\times n$ matrise ($n$ sütun ve $n$ satırdan oluşan kare biçimindeki bir tabloya), eğer her $i=1,\dots, n$ için $i$-inci satır ile $i$-inci sütun birlikte $S$'nin tüm elemanlarını kapsıyorsa, bir gümüş matris diyoruz.

• $n=1997$ için hiç bir gümüş matrisin bulunmadığını;
• $n$'nin sonsuz sayıda değeri için gümüş matrislerin bulunduğunu gösteriniz.

$a\geq 1$, $b\geq 1$ olmak üzere, $$a^{\left(b^2\right)} = b^a$$ eşitliğini sağlayan tüm $(a,b)$ tam sayı sıralı ikililerini bulunuz.

Her $n$ pozitif tam sayısı için, $n$'nin, $2$'nin negatif olmayan tam sayı kuvvetlerinin toplamı olarak yazılış biçimlerinin sayısını $f(n)$ ile gösterelim. Toplamda geçen terimlerin yalnızca sırasının değişik olduğu yazılış biçimlerinini aynı sayıyoruz. Örneğin $4$ sayısı; $4$, $2+2$, $2+1+1$, $1+1+1+1$ olarak dört şekilde yazılabileceğinden $f(4)=4$ olur. Her $n\geq 3$ tam sayısı için $$2^{\frac {n^2}{4}} < f\left(2^n\right) <2^{\frac {n^2}{2}} $$ olduğunu kanıtlayınız.