Bu aralar çözdüğüm soruların çoğunda Pisagor tipi parametrizasyonlar gerekli oluyor. Daha kolay referans gösterebilmek için bu başlığı açmak istedim. Bu parametrizasyonların tek türlü mümkün olması klasik yöntemlerle çözemediğimiz sorularda ispatlara gitmeye çalıştığımızda ciddi rahatlıklar sağlayabiliyor.

Aşağıdaki denklemlerin pozitif tam sayılar kümesinde parametrizasyonları varsa bulunuz. Yoksa sadece $(0,0,0)$ ın çözüm olduğunu gösteriniz.
$1)$  $x^2+y^2=z^2$

$2)$  $x^2+y^2=2z^2$

$3)$  $x^2+y^2=3z^2$

$4)$  $x^2+y^2=5z^2$

$5)$  $x^2+y^2=7z^2$

$6)$  $x^2+2y^2=z^2$

$7)$  $x^2+3y^2=z^2$

$8)$  $x^2+5y^2=z^2$

$9)$  $x^2+6y^2=z^2$

$10)$ $x^2+8y^2=z^2$

$n$ tam kare olmayan bir pozitif tam sayı ise $\sqrt{n}$ irrasyonel sayıdır, ispatlayınız.

p²-p+1=b³ olsun. p²-p+1 ifadesini tam küp yapan tüm p asallarını bulunuz.
(p=19 tek çözüm)

p^n-n^p=1 denkleminde n pozitif tam sayı ve p asal sayı olmak üzere kaç farklı (p,n) çözümü vardır?

Cevap) (2,1) ve (3,2) ama çözümü önemli.

ASAL SAYILARIN SONSUZLUĞU İLE İLGİLİ LİSE ÖĞRENCİSİNDEN İSPAT
 Gönderi için Barış Demir hocamıza teşekkürler.
 Gelecek Matematik Dunyasi sayisinda cikmasi muhtemel bir ispat gelmis, Nesin Matematik Köyünde ders goren bir lise ogrencisinden..
 n birden büyük bir pozitif tam sayi olsun. n ile n+1 aralarinda asaldir. k1=n.(n+1) olsun. Bu durumda k1 in birbirinden farkli en az iki asal carpani vardir.Cunku aralarinda asal iki carpana sahip!. Devam edelim, k2=k1.(k1+1) olsun. Bu durumda da k2 nin birbirinden farkli en az 3 asal carpani vardir. Cunku aralarinda asal iki carpani var ve birinin en az iki farkli carpani var. Ayni bicimde k3=k2.(k2+1) olsun. k3 un birbirinden farkli en az 4 asal carpani vardir. Bu sekilde k_n nin birbirinden farkli en az n+1 farkli asal carpani olur. O halde n sonsuza giderken asal sayi adedi de sonsuza gider...Kabaca bir lise ogrencinin verdigi yeni bit ispat budur..Bence muthis...
 Detaylar basta da yazdigim uzere muhtemelen bir sonraki Matematik Dünyası dergisinde

hocalarım asoriel diye br kawram varmıdır?varsa nedir?bunla ilgili herhangi bir çalışma varmıdır?

N den küçük ve N yi bölmeyen her pozitif tam sayı; N nin , tümü birbirinden farklı en az iki pozitif böleninin toplamı şeklinde yazılabiliyorsa , bu N pozitif tam sayısına bereketli sayı diyelim..

Örnek: 18 sayısı bereketli sayıdır: 4=1+3 , 5=2+3 , 7=1+6 , 8=2+6 , 10=1+3+6 , 11=2+3+6 ....

a)Her k doğal sayısı için 2^k nın bereketli sayı olduğunu gösteriniz.
b)Her bereketli N sayısı ve her k doğal sayısı için N^k nin bereketli sayı olduğunu gösteriniz,
c)N ve M bereketli sayıları için NM nin de bereketli sayı olduğunu gösteriniz.

iyi akşamlar...

Teorem: $f$ ve $g$, $[a,b]$ kapalı aralığı üzerinde sürekli iki fonksiyon olsun. Bu durumda
 
$$ \left(\int\limits_{a}^{b}f(t)g(t)dt \right)^2 \leq \int\limits_{a}^{b}f^2(t)dt \int\limits_{a}^{b}g^2(t)dt $$

eşitsizliği vardır. Bu eşitsizlik Cauchy-Schwarz İntegral Eşitsizliği olarak bilinir.


İspat: Her $x$ gerçel sayısı için $ 0 \leq (xf(t)+g(t))^2 $ dir. Her iki tarafın $[a,b]$ aralığı üzerinden integralini alıp

$0 \leq \int\limits_{a}^{b}(xf(t)+g(t))^2 dt = x^2\int\limits_{a}^{b}f^2(t)dt + 2x\int\limits_{a}^{b}f(t)g(t)dt + \int\limits_{a}^{b}g^2(t)dt  =Ax^2+Bx+C$ diyelim. Burada
$$A=\int\limits_{a}^{b}f^2(t)dt , \quad B=2\int\limits_{a}^{b}f(t)g(t)dt, \quad C=\int\limits_{a}^{b}g^2(t)dt $$
dir. Her $x$ gerçel sayısı için $0 \leq Ax^2+Bx+C \Longleftrightarrow \Delta = B^2 - 4AC \leq 0$ dır. Burada $A,B,C$ yerine tekrar integral eşitliklerini yazarsak
$$ \left(\int\limits_{a}^{b}f(t)g(t)dt \right)^2 \leq \int\limits_{a}^{b}f^2(t)dt \int\limits_{a}^{b}g^2(t)dt $$
sonucuna ulaşılır.

Ayrıca C-S İntegral eşitsizliği $\mathbb R^n$ nin bir alt bölgesinde tanımlı ve sürekli fonksiyonlar için yazılırsa, çok katlı integrallerde de geçerli olduğu görülebilir. Bunun ispatı da, yukarıda verdiğimiz gibi yapılır.

Denklem sistemlerini şeker dağıtarak çözmeye çalışmak bayağı keyifli.bazı sorularda yazmayı unutmuş olabilirm ama çözümden anlaşılıyor doğal sayılarda çözüm yapıyoruz.

Matematikte, Descartes'ın İşaret Kuralı, ilk olarak René Descartes tarafından La Géométrie adlı çalışmasında tanımlanmıştır. Bu teknik ile tek değişkenli bir polinonum, maksimum pozitif ve maksimum negatif köklerinin sayısı, ilave olarak karmaşık ve reel köklerinin sayısı, denklemin kökleri bulunmadan, işaret kuralı ile tespit edilebilir.

Pozitif Kökler

Tek değişkenli bir polinomun katsayıları arasındaki işaret değişimi sayısı, polinomun sahip olduğu maksimum pozitif kök sayısına eşittir. Sonuç ya bu değerdir; ya da bu değerden 2'nin bir katının çıkarılmış halidir.

Negatif Kökler

Tek değişkenli bir polinomda, x yerine -x koyarak elde ettiğimiz yeni tek değişkenli polinomun katsayıları arasındaki işaret değişimi sayısı, polinomun sahip olduğu maksimum negatif kök sayısına eşittir. Sonuç ya bu değerdir; ya da bu değerden 2'nin bir katının çıkarılmış halidir.

Karmaşık Kökler

n. dereceden  bir polinom n köke sahiptir. Bu polinomun sahip olduğu minimum karmaşık kök sayısı ise aşağıdaki denklemin sonucuna eşittir.
n-(p+q),
p pozitif kök sayısını, q negatif kök sayısını, n ise denklemin derecesini ifade eder.

Örnek:

Polinomumuz x⁷+x⁶-x⁴-x³-x²+x-1   olsun.

Pozitif Kök Sayısı

Katsayıların işaretlerindeki değişimi ifadesini, ++−−−+−, şeklinde ifade edebiliriz. Görüldüğü gibi toplam işaret değişimi sayısı 3 adettir. ( 2. ve 3. ; 5.ve 6. ; 6. ve 7.terimleri arasında ) Bu sayı bize, polinomun sahip olduğu, maksimum pozitif kök sayısını verir. Yani 3'dür ya da 3-2 = 1'dir.

Negatif Kök Sayısı

Önce polinomda, x yerine -x koyalım. Yeni polinomumuz şu şekilde
-x⁷+x⁶-x⁴+x³-x²-x-1    olur.
Katsayıların işaretlerindeki değişimi ifadesini, −+−+−−− şeklinde ifade edebiliriz. Görüldüğü gibi toplam işaret değişimi sayısı 4 adettir. ( 1. ve 2. ; 2.ve 3. ; 3. ve 4. ; 4. ve 5. terimleri arasında ) Bu sayı bize, polinomun sahip olduğu, maksimum negatif kök sayısını verir. Yani 4'dür ya da 4-2=2 ya da 4-2*2=0'dır.

Karmaşık Kök Sayısı

Örneğimizdeki sonuçları denklemde n-(p+q), yerine koyarsak, Pozitif Kök Sayısı için ya 1 ya da 3 Negatif Kök Sayımız ya 4 ya 2 ya da 0 idi.Bulduğumuz değerlerin, minimum değerlerini, ilgili denklemde yerine koyar isek 7-(1+0) = 6 sonucunu elde ederiz.Demek ki polinomumuz 6 adet karmaşık köke, 1 adet reel köke sahip imiş.
 
Yaptığımız işlemlerin sağlamasını Matlab'te yapalım. Polinomun "roots" komutu yardımı ile kökleri bulduğumuzda ise, bu yöntem ile elde ettiğimiz sonuçların doğruluğunu görebiliriz.

a=[ 1 1 0 1 -1 -1 1 -1]

roots(a)
 -1.2918 + 0.1373i - Negatif Karmaşık Kök
 -1.2918  - 0.1373i - Negatif Karmaşık Kök
 -0.0202  + 1.1459i - Negatif Karmaşık Kök
 -0.0202  - 1.1459i - Negatif Karmaşık Kök
  0.3639  + 0.6091i - Pozitif Karmaşık Kök
  0.3639  - 0.6091i - Pozitif Karmaşık Kök
  0.8961  - Pozitif Reel Kök

Görüldüğü üzere, polinomumuz 4 negatif, 3 pozitif köke sahiptir.

kaynak:Vikipedi

Eisenstein Kriteri:

$p$ verilen bir asal sayı, $$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 \in \mathbb{Z} [ x ]$$ olsun. Eğer $a_n \not \equiv 0 \pmod p$, $$a_{n-1} \equiv \cdots \equiv a_0 \equiv 0 \pmod p, \quad a_0 \not \equiv 0 \pmod {p^2}$$ ise, $f(x)$ polinomu $\mathbb{Z} [ x ]$ içinde indirgenemez.


Genelleştirilmiş Eisenstein Kriteri:

$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 \in \mathbb{Z} [ x ]$ olsun. Bir p asal sayısı ve $\ell < n$ için, $$a_n \not \equiv 0, a_\ell \not \equiv 0, \quad a_{\ell - 1} \equiv \cdots \equiv 0 \pmod p, \quad a_0 \not \equiv 0 \pmod {p^2}$$ ise $\mathbb{Z} [ x ]$ içinde, $f(x)$ indirgenemez veya $f(x)$ in derecesi en az $\ell$ olan ve indirgenemeyen bir çarpanı vardır.

Polinomlar ile ilgili sorularda kullanışlı bir teorem:

Andrew Wiles'ın çözümünü bu konu üstünden yapması ilgimi çekti. Bulduğum ders notunu ekleyeyim, bu PDF nin içinde düzgün şekillerin çizimi gibi konularda var. İlgilenen arkadaşlardan, elinde Sayılar teorisi için kullanılan gelişmiş teknikler ile ilgili PDF, döküman olan varsa aşağıdan mesaj olarak paylaşırsa güzel olur. İyi çalışmalar...

Bu formüllerin ispatı var mı ???ACİLLL

 $1 +\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} +...+\dfrac{1}{k}$  kısmi toplamı  için $k$ 'ya bağlı bir alt ve bir üst sınır bulabilir misiniz?

İlk olarak bir kaç tanım ve teoremi verelim:

Konveks Fonksiyon: $I \subset \mathbb R $ konveks bir küme olsun. $f:I \to \mathbb R$ fonksiyonu her $x,y \in I $ ve her $ 0\leq \lambda \leq 1 $ gerçel sayısı için $f(\lambda x + (1- \lambda)y) \leq \lambda f(x) + (1-\lambda) f(y) $ eşitsizliğini sağlıyorsa $f$ ye $I$ üzerinde konveks fonksiyon denir.
Burada konveks kümenin tanımını vermeyeceğiz ama $\mathbb R$ için $[a,b] , (a,b], [a, \infty)$ ... vb aralıklar düşünülmelidir.

Uyarı: Bir çok önemli analiz (calculus) kitabında, bir aralıkta ikinci türevi pozitif olan fonksiyonlara konveks fonksiyon denmektedir. Gerçekte konvekslik tanımı yukarıdaki gibidir ve türevlenebilme koşulu yoktur. Bununla birlikte, bir aralıkta ikinci türevi pozitif olan fonksiyonların konveks olduğunu anlatan bir teorem vardır. Yani bu ikinci türev ile ilgili ifade bir tanım değil, teoremdir.

Teorem: $f$, $[a,b]$ aralığında sürekli ve $(a,b)$ aralığında iki kez türevlenebilir bir fonksiyon olsun. $f$ nin $[a,b]$ üzerinde konveks fonksiyon olması için gerek ve yeter şart her $x \in (a,b)$ için $f''(x)\geq 0$ olmasıdır.

Teorem: Bir aralıkta konveks olan bir fonksiyon, aynı aralıkta süreklidir.

Bu teoremin sonucunda kapalı aralıkta konveks olan bir bir fonksiyonun (Riemann anlamında) integrallenebilir olduğunu söyleyebiliriz.

Öğretim yöntemi olarak, kolaylık ve anlaşılırlık açısından konveksliğin tanımı ikinci türev yardımıyla verilmiş olabilir. Örneğin $f(x)=|x|$ fonksiyonu da $\mathbb R$ de konvekstir, fakat $x=0$ noktasında türevsizdir. Bunu da belirtmiş olalım.


Şimdi, literatürde Hermite-Hadamard İntegral Eşitsizliği olarak bilinen teoremi verelim. Bu eşitsizlik ilk kez Jacques Hadamard tarafından 1893'te yayınlanmıştır ve bir fonksiyonun ortalama değeri için bir yaklaşım verir:

$f:[a,b] \to R$ konveks fonksiyon olsun. Bu durumda

$$ f\left( \dfrac{a+b}{2}\right) \leq \dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx \leq \dfrac{f(a)+f(b)}{2}.$$

Bu eşitsizliğin sağ tarafı için bir geometrik yorum verebiliriz:


Alan eşitsizliği yorumu verebilmek için $f(x) \geq 0$ olacak biçimde bir grafik çizelim. $A(a,0), B(b,0), C(b,f(b)),D(a,f(a))$ olsun. $f$ $[a,b]$ aralığında konveks fonksiyon olduğundan $[CD]$ kirişi $y=f(x)$ eğrisinin üstünde kalır. Dolayısıyla $ABCD$ yamuğunun alanı, $[a,b]$ aralığındaki eğrinin altında kalan alandan daha büyüktür. $|AD|=f(a)$, $|BC|=f(b)$, $|AB|=b-a$ olduğundan

$$ \int_{a}^{b}f(x)dx \leq (b-a)\dfrac{f(a)+f(b)}{2} $$

elde edilir.

Eşitsizliğin sol tarafına bir geometrik yorum verebilir misiniz? Yani $ABEF$ dikdörtgeninin alanı, $[a,b]$ aralığındaki eğrinin altında kalan alandan daha küçüktür, neden?


Not: Göz kararı, $ABEF$ dikdörtgeninin alanının daha küçük olduğu hissediliyor fakat ben de henüz geometrik yorumuna tam vakıf olamadım. Belki çok basittir, bilemiyorum. Analize dayalı cebirsel tam ispatını biliyorum. Konunun sonunda bunu ekleyebilirim. Hermite-Hadamard Eşitsizliği'nin geliştirilmiş birçok versiyonu vardır. Yine bir geometrik yorumdan hareket ederek H-H'nin klasik versiyonunu geliştirmeye çalışacağım. Muhtemelen bulunmuş bir şey olacaktır ama Türkçe bilgi birikimi açısından burada yazılı halde bulunması faydalı olur.

Bildiğimiz yoldan farklı sayılmaz.Başkatsayı  parantezine almak işinize gelmiyorsa bu yöntemi kullanabilirsiniz.

$a,b,c > 0 $ reel sayılar olmak üzere bu üç sayı için

karesel ortalama = $\sqrt{\dfrac{a^2 + b^2 +c^2}{3}}$

aritmetik ortalama = $\dfrac {a+ b + c}{3}$

geometrik ortalama = $\sqrt[3]{a.b.c}$

harmonik ortalama = $\dfrac{3}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}}$

olarak tanımlanır.Buna göre

$H.O \leq G.O \leq A.O \leq K.O $ olduğunu ispatlayınız. Eşitlik durumu ancak ve ancak $a = b = c$ iken sağlanır.

köklü sayı

Lehmer (1936): $F_n$ Fibonacci dizisi olmak üzere $$ \sum_{i=1}^{\infty} \text{arccot} F_{2i + 1} = \dfrac{\pi}{4}.$$


İspat (Charles W. Trigg): Şekildeki birim karelerden oluşan dikdörtgende $|NP|=F_{2n}$, $|NQ|=F_{2n+1}$, $|NR|=F_{2n+2}$ ve $|MN|=1$ dir. Buna göre, $|MP|=\sqrt{ F_{2n}^2 + 1} $, $|PQ| = F_{2n+1} - F_{2n} $ ve $|PR| = F_{2n+2} - F_{2n} $ olur.


İyi bilinen
$$ F_{2n+1}F_{2n+2} - F_{2n}F_{2n+3}= 1$$
eşitliği ile başlayalım:
$$ F_{2n+1}F_{2n+2} - F_{2n}(F_{2n+1}+F_{2n+2}) + F_{2n}^2 = F_{2n}^2 + 1$$
$$ (F_{2n+1}- F_{2n}) (F_{2n+2}- F_{2n}) = F_{2n}^2 + 1 $$
$$ \dfrac{F_{2n+1}- F_{2n}} {\sqrt{ F_{2n}^2 + 1}} = \dfrac {\sqrt{ F_{2n}^2 + 1}} {F_{2n+2}- F_{2n}}$$
olur. Böylece kenar - açı - kenar benzerliğinden $QPM \sim MPR$ olur. Dolayısıyla $\angle MRP = \angle QMP$ olup $\angle MPN = \angle QMP + \angle MQP = \angle MRP + \angle MQP $ yazılır. Yani $ \text{arccot} F_{2i} = \text{arccot} F_{2i + 1} +  \text{arccot} F_{2i + 2} $. Böylelikle,

$\text{arccot} 1 = \text{arccot} 2+\text{arccot} 3$

              $ = \text{arccot} 2+\text{arccot} 5 +\text{arccot} 8$

              $ = \text{arccot} 2+\text{arccot} 5+\text{arccot} 13+\text{arccot} 21$

              $ = \dots $

              $ =\sum\limits_{i=1}^n \text{arccot} F_{2i+1} + \text{arccot} F_{2n+2}$

              $ = \sum\limits_{i=1}^{\infty} \text{arccot} F_{2i+1} $

elde edilir. İlk $\text{arccot} 1= \dfrac{\pi}{4}$ değeri yerine yazılırsa ispat tamamlanır. $\blacksquare $

Aynı kaynağın Limit konusu kolay gelsin...

Maclaurin Eşitsizliği
$x_1,x_2,\cdots,x_n,k$ pozitif reeller ($k\leq n$) olmak üzere simetrik bir polinom

$$E_k\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right)=\sum_{1\leq i_1<i_2<\cdots<i_k\leq m}{x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_k}}=\sum_{J\subseteq {1,\cdots,n}\atop Card\left(J\right)=k}{\prod_{i\in J}{x_i}} \quad \text{||} \quad d_k\left(x\right)=\dfrac{E_k\left(x\right)}{\dbinom{n}{k}}$$
olarak tanımlansın. Buna göre

$$\sqrt[n]{d_n\left(x\right)}\leq \cdots \leq \sqrt[k]{d_k\left(x\right)}\leq \cdots \leq d_1\left(x\right)$$

olduğunu gösteriniz.

...

Newton Eşitsizliği
$x_1,x_2,\cdots,x_n,k$ pozitif reeller ($k\leq n$) olmak üzere simetrik bir polinom 

$$E_k\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right)=\sum_{1\leq i_1<i_2<\cdots<i_k\leq m}{x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_k}}=\sum_{J\subseteq {1,\cdots,n}\atop Card\left(J\right)=k}{\prod_{i\in J}{x_i}} \quad \text{||} \quad d_k\left(x\right)=\dfrac{E_k\left(x\right)}{\dbinom{n}{k}}$$
olarak tanımlansın. Buna göre

$$d_{k-1}\left(x\right)d_{k+1}\left(x\right)\leq d_k^2\left(x\right)$$

olduğunu gösteriniz.

f(x) = ax² + bx + c  parobolüne  orijinden çizilen teğetlerin birbirine dik olması için  gösteriniz ki  delta = -1 olmalıdır.

f(x) = ax² + bx + c  parabolünün  kökleri    x₁  ve   x₂  olsun.
 x₁  ve  x₂  den  geçen  teğetler  birbirine dik ise  gösteriniz ki   delta = 1  dir.

Tersi kendisine eşit olan fonksiyonlara "self invers fonksiyonlar" denir.Sanırım daha genel olarak "involusyon" terimi kullanılıyor.Örneğin f(x) = 1 / x bir self invers fonksiyondur.Bu konuda bildiklerimizi ve örneklerimizi bu başlıkta toplayalım. 

Bir P(x) polinomunun tüm katsayıları sıfır ise P(x) polinomu sıfır polinomudur...
P(x) polinomunun katsayısı ile ilgili bazı kaynaklarda tanımsızdır deniliyor ben eksi sonsuz olarak biliyorum ama neden olarak tanım gereği denmiş nedenini bilen arkadaşlar paylaşırsa çok sewinirim.şimdiden çok teşekkürler...

tam değer içinde  [ı 2,9 ı]    9  devrediyor... bu ifade ile ilgili elinde dökümanı olan var ise paylaşırsa çok sewinirim matematik dünyasında bahsedilmişti ama bulamadım (

http://www.geomania.org/index.php?topic=244.msg892#new adresinde tamdeğer limit başlıklı konuda bir teorem ve ispatından bahsedilmişti.Bildiğim birkaç teoremi  bir araya toplamak istedim.Katkılarımıza burdan devam edebiliriz.

1. m ve n pozitif tam sayılar olsun.eğer m+n büyük eşit 49 ise ozaman m büyükeşit 25 yada n büyükeşit 25 tir.(karşıt pozitif yöntemiyle ispatlayınız.)
2. her m pozitif tamsayısı için m kare eşit değil 2 dir.(çelişki yöntemiyle ispatlayınız)
3. 1+1=2 olduğunu tümevarım ispat yöntemiyle ispatlayınız
4. tümevarım ilkesinin 1. ve 2. biçimi kullanılarak yapılan iki farklı ispat yazınız.
5. yalnızca birebir olan(örten olmayan), yalnızca örten olan(birebir olmayan) ve birebir eşleme olan birer fonksiyon örneği yazınız.(zor bir örnek olursa sevinirim)
finalime yardımcı olcak sorulardır.yardımcı olursanız çok sevinirim.(çok acil)şimdiden teşekürler.

f:[a,b]    > [c,d] şeklinde tanımlı birebir ve örten bir fonksiyon olsun. (a,b) aralığına ait bir x₀ noktası için y₀=f(x₀) olmak üzere eğer f^ı(x₀) varsa (f^-1)^ı(y₀) = 1/f^ı(x₀) dır.İspatlayınız.

$a,b,c$ gerçel sayılar iken $(a+b+c)^2\geq 3 (ab+bc+ca)$ eşitsizliğini biliyoruz. Bir isme ithaf edilemeyecek kadar temel olduğunu düşündüğüm bu eşitsizliğin bir genellemesini verelim.


Teorem: $a_1, a_2, \dots, a_n$ gerçel sayılar olmak üzere $$ (a_1 + a_2 + \cdots + a_n)^2 \geq \dfrac{2n}{n-1}\sum_{1\leq i <j\leq n }a_ia_j $$ eşitsizliği vardır. Eşitlik durumu ancak ve ancak $a_1=a_2=\cdots = a_n$ iken geçerlidir.

trigonometrik fonksiyonların seri açılımının tam olarak kullanım alanı nedir? örnek problemlerle açıklayabilir misiniz? ilginiz için şimdiden teşekkürler

Wilson teoremi: p bir asal sayı ise (p - 1)! = -1 (mod p) dir.

bu meşhur teoremin güzel bir ispatını verelim: p = 2 için denkliğin sağlandığı açıktır. p > 2 kabul edersek p bir tek sayı olur. x^{p - 1} - 1 = 0 (mod p) polinom denkliğinin çözümleri (Fermat teoreminden dolayı) x = 1, 2, 3, ... , p - 1 dir. O halde her bir kök polinomun çarpanı olacağından

x^{p - 1} - 1= (x - 1)(x - 2)...(x - (p - 1)) (mod p)

olur. Şimdi bu özdeşlikte x = 0 yazarsak sağ tararta çift sayıda çarpan olduğundan (p - 1)! = -1 (mod p) elde edilir.

$s>1$ için $\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^s}$ ve $\eta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n-1}}{n^s}$ olmak üzere tanımlayalım.

$\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^s}= \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{(2n-1)^s} + \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{(2n)^s}$ şeklinde yazmamızda bir sakınca yoktur çünkü hala her terimi saymış oluruz. Denklemi şu şekilde de yazabiliriz:

$\zeta(s)= \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{(2n-1)^s} + 2^{-s}\zeta(s)$  yani $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{(2n-1)^s}=(1-2^{-s})\zeta(s)$

Bu toplam az sonra işimize yarayacak.

$\eta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n-1}}{n^s} =\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{(2n-1)^s} - \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{(2n)^s}$ yazabiliriz. Az önce bulduğumuz toplamı kullanalım:

$\eta(s)=(1-2^{-s})\zeta(s)-2^{-s}\zeta(s)$ yani $\eta(s)=(1-2^{1-s})\zeta(s)$ olur.

$\zeta(2)$ Euler tarafından hesaplanmıştır ve değeri $\dfrac{\pi^2}{6}$'dir. İlk olarak bu değeri kullanarak işimize yarayabilecek bir seriyi $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{(2n-1)^s}=(1-2^{-s})\zeta(s)$ eşitliğinden hesaplayalım. $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{(2n-1)^2}=\dfrac{3\zeta(2)}{4}=\dfrac{\pi^2}{8}$ olur.

Şimdi ise $\eta(2)$ yani $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n-1}}{n^2}$ değerini $\eta(s)=(1-2^{1-s})\zeta(s)$ eşitliğinden hesaplayalım. $\eta(2)=\dfrac{\zeta(2)}{2}=\dfrac{\pi^2}{12}$ elde ederiz.

$x,y:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ noktaları $t_{0}$ noktasında diferansiyellenebilir olmak üzere, $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ fonksiyonu da $\left( x(t_{0}),y(t_{0}) \right)$ noktasında sürekli ve kısmi türevlenebilen bir fonksiyon olsun. $g(x)$ fonksiyonu da $g\left( x\right) =f\left( x\left( t\right) ,y\left( t\right) \right)$ olmak üzere, $(x(t_{0}),y(t_{0}))$ noktasında diferansiyellenebilen bir fonksiyon olsun. O halde aşağıdaki eşilik geçerlidir. Kanıtlayınız.$$\dfrac{d g}{dt}(t_0)=\dfrac{\partial f}{\partial x}(x(t_0),y(t_0))\cdot \frac{dx}{d t}(t_0)+ \dfrac{\partial f}{\partial y}(x(t_0),y(t_0))\cdot \dfrac{dy}{d t}(t_0).$$

Kaynağın ingilizcesini bulabildim, Türkçesi olan varsa daha iyi olur.

çarpımsal terslerinin toplamı 1 olan tam sayılarla kurulan diyafont denklemlerin çözümüne ilişkin faydalı bir yöntem.faydalı olması dileğiyle...

iki katlı integral kullanarak kürenin hacminin genel ifadesi (4.pi.r^3)/3 e ulaşınız

Kaynak ingilizce fakat örnek kısımlarında işlemler açıklanarak yapılmış ve içinde bol alıştırma var...

IR üzerindeki sonlu tümleyenler topolojisinin Y= {-1}U(0,3) alt uzayına göre A= (0,1] aralığının iç noktaları kümesi nedir ?