Uluslararası Matematik Olimpiyatı

Gerçel $r$ sayısı ile $|AB|=20$, $|BC|=12$ boyutlarında bir $ABCD$ dikdörtgeni veriliyor. Dikdörtgen, $20\times 12$ birim karelik ızgaraya bölünüyor. Bir kareden diğer kareye hareket edebilmek için, bu iki karenin merkezleri arasındaki uzaklığın $\sqrt r$ olması gerekiyor. Görevimiz, $A$ köşesine sahip birim kareden başlayıp $B$ köşesine sahip birim kareye giden bir hareketler dizisini bulmak.

$r$, $2$ veya $3$ ile bölünüyorsa; görevin tamamlanamayacağını gösteriniz.
$r=73$ ise, görevin tamamlanabileceğini kanıtlayınız.
$r=97$ olduğunda, görev tamamlanabilir mi?

$P$, $ABC$ üçgeninin iç bölgesinde $$\angle APB - \angle ACB = \angle APC - \angle ABC$$ olacak şekilde bir nokta olsun. $APB$ ve $APC$ üçgenlerinin içteğet çemberlerinin merkezleri sırasıyla $D$ ve $E$ olsun. $AP$, $BD$, $CE$ nin bir noktada kesiştiklerini gösteriniz.

Çözüm:

$P$ nin $BC$, $AB$, $AC$ kenarları üzerindeki izdüşümleri sırasıyla $A'$, $B'$, $C'$ olsun.
$A'CB'P$, $AB'PC'$ ve $A'PC'B$ birer kirişler dörtgeni olduğu için,
$\angle C'B'P = \angle PAC'$ ve $\angle PB'A' = \angle PCA'$. $\angle C'B'A' = \angle C'AP + \angle PCA' = \angle APC - \angle ABC$.
$\angle B'C'P = \angle B'AP$ ve $\angle PC'A' = \angle PBA'$. $\angle B'C'A' = \angle B'AP + \angle PBA' = \angle APB - \angle ACB$.
Buradan $\angle A'B'C = \angle B'C'A'$ ve $A'B' = A'C'$ elde ettik.

$\triangle A'B'C$ de, Sinüs Teoreminden $\dfrac{A'B'}{\sin \angle C} = 2R = CP \Rightarrow A'B' = CP \cdot \sin \angle C$.

$\triangle A'C'B$ de, Sinüs Teoreminden $\dfrac{A'C'}{\sin \angle B} = BP \Rightarrow A'C' = BP \cdot \sin \angle B$.

$\triangle ABC$ de, Sinüs Teoreminde $\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{\sin \angle C}{\sin \angle B}$.

$A'B'=A'C' \Rightarrow CP \cdot \sin \angle C = BP \cdot \sin \angle B \Rightarrow \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{BP}{CP}$ $\Rightarrow \dfrac{AB}{BP} = \dfrac{AC}{CP}$. Bu da demektir ki $\angle ACP$ nin iç açıortayı ile $\angle ABP$ nin iç açıortayı $AP$ üzerinde aynı noktada kesişir. $\blacksquare$

$S$, negatif olmayan tam sayılar kümesini göstersin. $S$ den kendisine $$f\left(m+f(n)\right) = f\left(f(m)\right) + f(n) \qquad \forall m,n \in S$$ şeklinde tanımlanan tüm $f$ fonksiyonlarını bulunuz.

$a$ ve $b$ pozitif tam sayıları $15a+16b$ ve $16a-15b$ sayıları birer pozitif tam sayının karesi olacak şekilde alınıyor. Bu tam karelerden küçük olanın alabileceği en küçük değer nedir?

$ABCDEF$ dışbükey altıgeninde $AB$, $DE$ ye paralel; $BC$, $EF$ ye paralel; $CD$ de $FA$ ya paraleldir. $R_A, R_C, R_E$; sırasıyla $FAB$, $BCD$, $DEF$ üçgenlerinin çevrel yarıçapları ve $P$ de altıgenin çevresi olsun. $$R_A + R_C + R_E \geq \dfrac{P}{2}$$ olduğunu kanıtlayınız.

$p,q,n$; $p+q<n$ olacak şekilde alınan üç pozitif tam sayı olsun. $(x_0, x_1, \dots, x_n)$, aşağıdaki koşulları sağlayan bir tam sayı $(n+1)$ lisi olsun:

$x_0=x_n=0$.
$1\leq i \leq n$ olmak üzere, her $i$ için ya $x_i - x_{i-1} = p$ ya da $x_i - x_{i-1} = -q$ dur.

$x_i = x_j$ olacak şekilde $(i,j) \neq (0,n)$ şartını sağlayan $i<j$ indislerinin bulunduğunu gösteriniz.

Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 1996 Çözümleri