Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 1995
1
$A,B,C,D$ bir doğru üstünde belirtilen sırada dört farklı nokta olsun. $AC$ ve $BD$ çaplı çemberler $X$ ve $Y$ de kesişiyor. $XY$ doğrusu $BC$ yi $Z$ de kesiyor. $P$, $XY$ doğrusu üzerinde $Z$ den farklı bir nokta olsun. $CP$ doğrusu $AC$ çaplı çemberi $C$ ve $M$ de, $BP$ doğrusu $BD$ çaplı çemberi $B$ ve $N$ de kesiyor. $AM$, $DN$, $XY$ doğrularının noktadaş olduğunu kanıtlayınız.
2
$a,b,c$; $abc=1$ koşulunu sağlayan pozitif gerçel sayılar olsun. $$\dfrac{1}{a^3(b+c)}+\dfrac{1}{b^3(c+a)}+\dfrac{1}{c^3(a+b)} \geq \dfrac{3}{2}$$ olduğunu kanıtlayınız.
3
Düzlemde $1\leq i < j < k \leq n$ için $\triangle A_iA_jA_k$ nın alanının $r_i + r_j + r_k$ olduğu herhangi üçü doğrusal olmayan $A_1, \dots, A_n$ noktalarının ve $r_1, \dots, r_n$ gerçel sayılarının bulunmasını sağlayan tüm $n>3$ tam sayılarını bulunuz.
4
$i=1,\dots, 1996$ için $$x_{i-1} + \dfrac{2}{x_{i-1}} = 2x_i + \dfrac{1}{x_i}$$ ve $x_0 = x_{1995}$ olacak şekilde $x_0, x_1, \dots, x_{1995}$ pozitif gerçel sayılar dizisi bulunduğuna göre, $x_0$ ın alabileceği en büyük değeri bulunuz.
5
$ABCDEF$ dışbükey altıgeninde $AB=BC=CD$, $DE=EF=FA$ ve $\angle BCD=\angle EFA = \pi / 3$ olsun. $G$ ve $H$ ın altıgenin iç bölgesinde $\angle AGB = \angle DHE = 2\pi /3$ olacak şekilde alınan noktalar olduğunu varsayalım. $AG+GB+GH+DH+HE\geq CF$ olduğunu kanıtlayınız.
6
$p$ tek bir asal sayı olsun. $\{1,2,\dots, 2p\}$ kümesinin, elemanları toplamı $p$ ile bölünecek şekilde $p$ elemanlı kaç $A$ alt kümesi vardır?