Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 1994

$m$ ve $n$ pozitif tam sayılar olsun. $a_1, a_2, \dots, a_m$, $\{1,2,\dots, n\}$ kümesinin farklı öyle elemanları olsun ki, $1\leq i\leq j \leq m$ olmak üzere $a_i+a_j\leq n$ olduğu her durumda, $a_i+a_j=a_k$ olacak şekilde bir $k$ ($1\leq k \leq m$) bulunsun. $$\frac{a_1+a_2+\dots + a_m}{m} \geq \frac {n+1}2$$ olduğunu kanıtlayınız.

$ABC$ ikizkenar üçgeninde $|AB|=|AC|$ olsun.

• $M$, $BC$'nin orta noktası; $O$ da, $AM$ doğrusu üstünde bulunan ve $OB$'nin $AB$'ye dik olmasını sağlayan nokta olsun.
  
• $Q$, $BC$ kenarı üstünde, $B$ ve $C$'den farklı herhangi bir nokta olsun.
• $E$, $Q$ ve $F$ aynı doğru üstünde bulunan farklı noktalar olmak üzere, $E$'nin $AB$ doğrusu, $F$'nin de $AC$ doğrusu üstünde bulunduğunu kabul edelim.
  

$OQ$'nun $EF$'ye dik olmasının, $|QE|=|QF|$ olması için gerek ve yeter bir koşul olduğunu kanıtlayınız.

Her $k$ pozitif tam sayısı için, $\{k+1,k+2,\dots, 2k\}$ kümesine ait ve $2$ tabanına göre yazılımlarında tam olarak üç tane $1$'in geçtiği elemanların sayısı $f(k)$ olsun.

• Her $m$ pozitif tam sayısı için, $f(k)=m$ olacak şekilde en az bir $k$ pozitif tam sayısının bulunduğunu kanıtlayınız.
• $f(k)=m$ eşitliğinin tam olarak bir $k$ için sağlandığı tüm $m$ pozitif tam sayılarını bulunuz.

$\dfrac{n^3+1}{mn-1}$ sayısının bir tam sayı olmasını sağlayan tüm $(m,n)$ sıralı pozitif tam sayı ikililerini bulunuz.

$S$, $-1$'den kesin büyük reel sayıların kümesi olsun. Aşağıdaki iki koşulu sağlayan tüm $f:S\to S$ fonksiyonlarını bulunuz:

• $S$'ye ait her $x,y$ için, $f\left(x+f(y) + xf(y)\right) = y+f(x)+yf(x)$ olup,
• $\dfrac{f(x)}{x}$, $-1<x<0$ ve $0<x$ aralıklarının her birinde kesin artan bir fonksiyondur.

Aşağıdaki koşulu sağlayan ve pozitif tam sayılardan oluşan bir $A$ kümesinin var olduğunu gösteriniz:
   Tüm elemanları asal sayılar olan sonsuz her $S$ kümesi için, $m$ ve $n$ sayılarından her birinin $S$'ye ait $k$ farklı elemanın çarpımı olmasını sağlayacak biçimde $K\leq 2$, $m\in A$ ve $n \not\in A$ pozitif tam sayıları vardır.