Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 1993 Çözümleri
« 1992 1994 »
« Sorulara Git
Geri

Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 1993 Çözümleri

1
$n>1$ bir tam sayı ve $f(x) = x^n + 5x^{n-1}+3$ olsun. $f(x)$ in, herbirinin derecesi en az $1$ olan ve tüm katsayıları tam sayılar olan iki polinomun çarpımı şeklinde yazılamayacağını gösteriniz.
2
Daraçılı bir $ABC$ üçgeni içindeki bir $D$ noktası, $\widehat{ADB} = \widehat{ACB} + 90^\circ$ ve $AC\cdot BD = AD \cdot BC$ koşullarını sağlamaktadır.
Çözüm:
  • $|BD| = |DE|$ olacak şekilde $BDE$ dik üçgenini inşaa edelim.

    $\angle{ADE} = \angle{ACB}$ açı eşitliğini görebiliriz. Soruda verilen bilgiyle birlikte, $\dfrac{AD}{DE} = \dfrac{AC}{BC}$ olduğundan $ACB$ üçgeni ile $ADE$ üçgeni benzer üçgenlerdir.

    Bu benzerliğe göre;

    $\angle{EAD} = \angle{BAC}  \Rightarrow \angle{EAB} = \angle{DAC}$ dir. $\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{AD}{AC}$ orantısı önceki benzerliğin bir sonucu idi bu sonuç bulunan açı eşitliği ile birlikte,

    $AEB$ üçgeni ile $ADC$ üçgeninin benzer üçgenler olduğunu gösterir.

    Bu benzerliğe göre;

    $\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{EB}{DC} \Rightarrow  AB \cdot DC = AC \cdot EB = AC \cdot BD \cdot \sqrt{2}$

    Buradan, $\dfrac{AB \cdot CD}{AC \cdot BD} = \sqrt{2}$  bulunur.

  • $(ACD)$ ve $(BCD)$ çemberlerinin $C$ deki teğetlerinin dik olması, bu noktadaki normallerinin de dik olması demektir.

    Çemberlerin merkezleri sırasıyla $P$ ve $Q$ olsun. $PC \perp QC$ olduğunu göstereceğiz.

    $\angle{DAC}+\angle{DBC}=90^\circ$  dir. $\angle{PCD}=90-\angle{DAC}$ ve $\angle{QCD}=90-\angle{DBC}$ olup $\angle{PCD}+\angle{QCD}=180-(\angle{DAC}+\angle{DBC}) = 90^\circ$ dir.
3
Sonsuz bir satranç tahtası üzerinde aşağıdaki oyun oynanıyor. Başlangıç durumunda, $n^2$ tane taş her karede bir taş olmak üzere birbirine bitişik karelerden oluşan $n\times n$ büyüklüğündeki bir blokta bulunmaktadırlar. Oyundaki bir hamle, dolu bir komşu kare üzerinden yatay veya düşey doğrultuda geçerek hemen ardındaki boş kareye atlamaktadır. Üzerinden atlanan taş tahtadan kaldırılmaktadır.
Hangi $n$ değerleri için oyunun tahta üzerinde yalnızca bir taş kalacak şekilde sonuçlanacağını bulunuz.
4
Düzlemde verilen $P,Q,R$ gibi üç nokta için, $m(PQR)$, $PQR$ üçgeninin yüksekliklerinin minimumu olarak tanımlanıyor. ($P,Q,R$ nin doğrusal olması durumunda $m(PQR)=0$)
$A,B,C$ düzleminde verilmiş noktalar olsun. Düzlemdeki herhangi bir $X$ noktası için $$m(ABC) \leq m(ABX) + m(AXC) + m(XBC)$$ olduğunu kanıtlayınız.
5
$\mathbb{N} = \{1,2,3,\dots\}$ olsun. $f(1)=2$, ve her $n\in \mathbb{N}$ için, $f\left(f(n)\right) = f(n)+n$ ve $n\in \mathbb{N}$ için $f(n)<f(n+1)$ koşullarını sağlayan bir $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ fonksiyonunun var olup olmadığını belirleyiniz.
6
$n>1$ bir tam sayı olsun. Bir çember üzerine $n$ tane lamba $L_0, L_1, \dots, L_{n-1}$ yerleştirilmiştir. Her lamba AÇIK ya da KAPALIdır. $S_0,S_1, \dots, S_i, \dots$ işlemler dizisi uygulanmaktadır. İşlem $S_j$ yalnızca $L_j$'nin durumunu (diğer tüm lambalarının durumunu koruyarak) şu şekilde etkiler:
   Eğer $L_{j-1}$ AÇIK ise, $S_j$, $L_j$'nin durumunu AÇIKtan KAPALIya ya da KAPALIdan AÇIKa çevirir. Eğer $L_{j-1}$ KAPALI ise, $S_j$, $L_j$'nin durumunu değiştirmez.
Lambalar $n$ moduna göre şöyle sıralanmıştır: $$L_{-1} = L_{n-1}, L_0 = L_n, L_1 = L_{n+1}, \text{vs.}$$Başlangıçta bütün lambalar AÇIK durumdadır. Aşağıdakileri gösteriniz.