Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 1993

$n>1$ bir tam sayı ve $f(x) = x^n + 5x^{n-1}+3$ olsun. $f(x)$ in, herbirinin derecesi en az $1$ olan ve tüm katsayıları tam sayılar olan iki polinomun çarpımı şeklinde yazılamayacağını gösteriniz.

Daraçılı bir $ABC$ üçgeni içindeki bir $D$ noktası, $\widehat{ADB} = \widehat{ACB} + 90^\circ$ ve $AC\cdot BD = AD \cdot BC$ koşullarını sağlamaktadır.

• $\dfrac {AB \cdot CD}{AC \cdot BD}$ oranının değerini bulunuz.
  
  
• $ACD$ ve $BCD$ üçgenlerinin çevrel çemberlerine $C$ noktasında çizilen teğetlerin dik olduklarını kanıtlayınız.
  

Sonsuz bir satranç tahtası üzerinde aşağıdaki oyun oynanıyor. Başlangıç durumunda, $n^2$ tane taş her karede bir taş olmak üzere birbirine bitişik karelerden oluşan $n\times n$ büyüklüğündeki bir blokta bulunmaktadırlar. Oyundaki bir hamle, dolu bir komşu kare üzerinden yatay veya düşey doğrultuda geçerek hemen ardındaki boş kareye atlamaktadır. Üzerinden atlanan taş tahtadan kaldırılmaktadır.
Hangi $n$ değerleri için oyunun tahta üzerinde yalnızca bir taş kalacak şekilde sonuçlanacağını bulunuz.

Düzlemde verilen $P,Q,R$ gibi üç nokta için, $m(PQR)$, $PQR$ üçgeninin yüksekliklerinin minimumu olarak tanımlanıyor. ($P,Q,R$ nin doğrusal olması durumunda $m(PQR)=0$)
$A,B,C$ düzleminde verilmiş noktalar olsun. Düzlemdeki herhangi bir $X$ noktası için $$m(ABC) \leq m(ABX) + m(AXC) + m(XBC)$$ olduğunu kanıtlayınız.

$\mathbb{N} = \{1,2,3,\dots\}$ olsun. $f(1)=2$, ve her $n\in \mathbb{N}$ için, $f\left(f(n)\right) = f(n)+n$ ve $n\in \mathbb{N}$ için $f(n)<f(n+1)$ koşullarını sağlayan bir $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ fonksiyonunun var olup olmadığını belirleyiniz.

$n>1$ bir tam sayı olsun. Bir çember üzerine $n$ tane lamba $L_0, L_1, \dots, L_{n-1}$ yerleştirilmiştir. Her lamba AÇIK ya da KAPALIdır. $S_0,S_1, \dots, S_i, \dots$ işlemler dizisi uygulanmaktadır. İşlem $S_j$ yalnızca $L_j$'nin durumunu (diğer tüm lambalarının durumunu koruyarak) şu şekilde etkiler:
   Eğer $L_{j-1}$ AÇIK ise, $S_j$, $L_j$'nin durumunu AÇIKtan KAPALIya ya da KAPALIdan AÇIKa çevirir. Eğer $L_{j-1}$ KAPALI ise, $S_j$, $L_j$'nin durumunu değiştirmez.
Lambalar $n$ moduna göre şöyle sıralanmıştır: $$L_{-1} = L_{n-1}, L_0 = L_n, L_1 = L_{n+1}, \text{vs.}$$Başlangıçta bütün lambalar AÇIK durumdadır. Aşağıdakileri gösteriniz.

• Öyle bir pozitif tam sayı $M(n)$ vardır ki, $M(n)$ işlemden sonra tüm lambalar tekrar AÇIK duruma gelmektedir.
• Eğer $n$, $2^k$ şeklindeyse, tüm lambalar $n^2-1$ işlemden sonra AÇIK duruma gelmektedir.
• Eğer $n$, $2^k+1$ şeklindeyse, tüm lambalar $n^2-n+1$ işlemden sonra AÇIK duruma gelmektedir.