Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 1992

$1 < a < b < c$ olmak üzere, $abc-1$ tam sayısının $(a-1)(b-1)(c-1)$ ile bölünmesini sağlayan tüm $a$, $b$, $c$ tam sayılarını bulunuz.

$\mathbf{R}$ ile reel sayılar kümesini gösterelim. Her reel $x,y$ için $$f\left(x^2+f(y)\right) = y+ \left(f(x)\right)^2$$ bağıntısını sağlayan tüm $f:\mathbf{R}\rightarrow \mathbf{R}$ fonksiyonlarını bulunuz.

Uzayda herhangi dördü aynı düzlem üstünde bulunmayan dokuz nokta verilmiş olsun. Her bir nokta çifti bir kenar (yani bir doğru parçası) ile birleştiriliyor ve her kenar ya mavi ya kırmızıya boyanıyor ya da hiç boyanmadan bırakılıyor. Aşağıdaki koşulu sağlayan en küçük $n$ sayısını bulunuz:
Kenarlardan tam olarak $n$ tanesi boyandığında, boyalı kenarların kümesi içinde mutlaka üç kenarı da aynı renkte olan bir üçgen bulunur.

Düzlemde, $C$ bir çember; $L$, $C$ çemberine teğet olan bir doğru ve $M$ ise $L$ doğrusu üstünde bir nokta olsun. Aşağıdaki koşulu sağlayan tüm $P$ noktalarının geometrik yerinin bulunuz:
 
   $L$ doğrusu üstünde $Q$ ve $R$ gibi öyle iki nokta vardır ki, $M$, $QR$ nin orta noktası ve $C$ de $PQR$ üçgeninin iç çemberi olur.

$S$, üç boyutlu uzayda sonlu sayıda noktadan oluşan bir küme olsun. $S_x$, $S_y$ ve $S_z$ ile $S$ deki noktaların sırasıyla $yz$ düzlemi, $zx$  düzlemi ve $xy$ düzlemi üstüne dik izdüşümlerinden oluşan kümeleri gösterelim. Bu durumda $$|S|^2\leq |S_x|\cdot |S_y| \cdot |S_z|$$ olduğunu kanıtlayınız. Burada $|A|$ ile sonlu bir $A$ kümesindeki eleman sayısı gösterilmektedir.
(Not: Bir noktanın bir düzlem üstüne dik izdüşümü, o noktadan düzleme çizilen dikmenin ayağıdır.)

Her $n$ pozitif tam sayısı için $S(n)$ sayısını aşağıdaki koşulu sağlayan en büyük tam sayı olarak tanımlıyoruz:

Her $k < S(n)$ pozitif tam sayısı için, $n^2$ sayısı $k$ tane pozitif tam karenin toplamı olarak yazılabilir.

• Her $n>4$ için $S(n)<n^2-14$ olduğunu kanıtlayınız.
• $S(n)=n^2-14$ eşitliğini sağlayan bir $n$ tam sayısı bulunuz.
• $S(n)=n^2-14$ eşitliğini sağlayan sonsuz sayıda $n$ tam sayısı bulunduğunu kanıtlayınız.