Uluslararası Matematik Olimpiyatı

Verilen bir $ABC$ üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi $I$ olsun. $A,B,C$ açılarına ait içaçıortaylar karşı kenarları sırasıyla $A',B',C'$ noktalarında kesiyor. $$\dfrac{1}{4} < \dfrac{AI\cdot BI \cdot CI}{AA' \cdot BB' \cdot CC'} \leq \dfrac{8}{27}$$ olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm:

$BC=a$, $AC=b$, $AB=c$ diyelim. $BA'=\dfrac {ac}{b+c}$ ve $\dfrac{AI}{AA'} = \dfrac{AB}{AB+BA'} = \dfrac {c}{c + \dfrac{ac}{b+c}} = \dfrac{b+c}{a+b+c}$ olacaktır.
Benzer şekilde $\dfrac{BI}{BB'} = \dfrac{a+c}{a+b+c}$ ve $\dfrac{CI}{CC'} = \dfrac{a+b}{a+b+c}$.

$a=x+y$, $b=y+z$, $c=x+z$ ve $u=x+y+z$ şeklinde değişken değiştirelim ve sorudaki ifadeyi yeniden yazalım:
$$\dfrac{1}{4} < \dfrac{u+z}{2u}\cdot \dfrac{u+x}{2u} \cdot \dfrac{u+y}{2u} \leq \dfrac{8}{27}$$
$GO \leq AO$ dan dolayı, $$\sqrt[3] {(u+x)(u+y)(u+z)} \leq \dfrac{4u}{3}$$ eşitliğin sağ tarafı kolayca gösterilebilir.
Şimdi sol tarafı gösterelim: $$\dfrac{8u^3}4 < (u+x)(u+y)(u+z)$$ $$2u^3 < u^3 + u^2(x + y + z) + uxy + uxz + uyz + xyz$$ $$2u^3 < u^3 + u^3 + uxy + uxz + uyz + xyz$$ $$0 < uxy + uxz + uyz + xyz.$$

$n>6$ bir tam sayı ve $a_1,a_2,\dots, a_k$ sayıları $n$ den küçük ve $n$ ile aralarında asal tüm doğal sayılar olsun. $$a_2-a_1 = a_3 -a_2 = \dots = a_k - a_{k-1} > 0$$ ise, $n$ sayısının ya bir asal sayı ya da $2$ nin bir kuvveti olacağını kanıtlayınız.

$S=\{1,2,3,\dots,280\}$ olsun. $S$ nin $n$ elemanlı her altkümesi ikişerli olarak aralarında asal beş eleman içerdiğine göre, en küçük $n$ tam sayısını bulunuz.

$G$ nin $k$ kenarlı bağlı bir çizge olduğunu varsayalım. Kenarları, her köşe iki veya daha çok kenara ait olacak ve bu kenarların etiketlerinin en büyük ortak böleni $1$ olacak şekilde, $1,2,\dots, k$ sayıları ile etiketlendirmenin mümkün olduğunu kanıtlayınız.
$[$ Bir çizge, uçlar diye adlandırılan noktalar kümesi ile bu uçlardan bazı çiftleri birleştiren kenarlar kümesinden oluşur. Her $u,v$ uç çifti, en fazla bir kenara aittir. Her farklı $x,y$ uçları için, her $v_i,v_{i+1}$ ($0\leq i < m$) çifti $G$ nin bir kenarı tarafından birleştirilecek ve $x=v_0,v_1,v_2,\dots, v_m=y$ olacak şekilde bir uçlar dizisi varsa, $G$ çizgesi bağlıdır diyoruz.$]$

$ABC$ bir üçgen ve $P$, $ABC$ üçgeninin iç bölgesinde bir nokta olsun. $\angle PAB$, $\angle PBC$, $\angle PCA$ açılarından en az birinin $30^\circ$ ye eşit ya da $30^\circ$ den küçük olduğunu gösteriniz.

Çözüm:

$P$ noktasının $BC$, $AC$, $AB$ doğruları üzerindeki izdüşümü sırasıyla $A'$, $B'$, $C'$ olsun.
Erdös–Mordell eşitsizliğine göre $PA + PB + PC \geq 2(PA' + PB' + PC')$.

$\angle PAB$, $\angle PBC$, $\angle PCA$ açılarından hepsinin $30^\circ$ den büyük olduğunu varsayalım.

Açılardan biri geniş açı olsun. $\angle PBC > 90^\circ$ olduğunu varsayılım. $\angle PAB$ ile $\angle PCA$, dar açıdır. Bu durumda, $\sin \angle PAB = \dfrac {PC'}{PA} > \dfrac 12$. Yani $2\cdot PC' > PA$ dır. Benzer şekilde, $2\cdot PB' > PB$. Erdős–Mordell'in sağlanması için $2 \cdot PA' < PA$, dolayısıyla da $\sin \angle PBC = \dfrac {PA'}{PA} < \dfrac {1}{2} = \sin 150^\circ$ olacaktır. $\angle PBC$ geniş açı olduğu için $\angle PBC > 150^\circ$ olur ki, bu zaten diğer açıların $30^\circ$ den küçük olduğu anlamına gelir. Çelişki.

$\angle PAB$, $\angle PBC$, $\angle PCA$ açıların hiçbiri geniş açı olmasın. Hepsinin $30^\circ$ den büyük olduğunu varsaymıştık. $\sin \angle PAB = \dfrac {PC'}{PA} > \dfrac 12$. Yani $2\cdot PC' > PA$ dır. Benzer şekilde, $2\cdot PB' > PB$. Erdős–Mordell'in sağlanması için $2 \cdot PA' < PA$, dolayısıyla da $\sin \angle PBC = \dfrac {PA'}{PA} < \dfrac {1}{2} = \sin 30^\circ$ olacaktır. Çelişki.

O halde; $\angle PAB$, $\angle PBC$, $\angle PCA$ dan en az biri $30^\circ$ ye eşit ya da $30^\circ$ den küçüktür.

$x_0,x_1,x_2, \dots$ gerçel sayılarından oluşan sonsuz bir diziye, her $i \geq 0$ için $|x_i| \leq C$ olacak şekilde bir $C$ sabiti varsa, sınırlı denir.
Herhangi bir $a>1$ gerçel sayısı verildiğinde, her negatif olmayan farklı $i,j$ tam sayı çifti için $$|x_i -x_j||i-j|^a \geq 1$$ olacak şekilde bir $x_0,x_1,x_2,\dots$ sınırlı sonsuz dizisi oluşturun.

Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 1991 Çözümleri