Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 1991

Verilen bir $ABC$ üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi $I$ olsun. $A,B,C$ açılarına ait içaçıortaylar karşı kenarları sırasıyla $A',B',C'$ noktalarında kesiyor. $$\dfrac{1}{4} < \dfrac{AI\cdot BI \cdot CI}{AA' \cdot BB' \cdot CC'} \leq \dfrac{8}{27}$$ olduğunu kanıtlayınız.

$n>6$ bir tam sayı ve $a_1,a_2,\dots, a_k$ sayıları $n$ den küçük ve $n$ ile aralarında asal tüm doğal sayılar olsun. $$a_2-a_1 = a_3 -a_2 = \dots = a_k - a_{k-1} > 0$$ ise, $n$ sayısının ya bir asal sayı ya da $2$ nin bir kuvveti olacağını kanıtlayınız.

$S=\{1,2,3,\dots,280\}$ olsun. $S$ nin $n$ elemanlı her altkümesi ikişerli olarak aralarında asal beş eleman içerdiğine göre, en küçük $n$ tam sayısını bulunuz.

$G$ nin $k$ kenarlı bağlı bir çizge olduğunu varsayalım. Kenarları, her köşe iki veya daha çok kenara ait olacak ve bu kenarların etiketlerinin en büyük ortak böleni $1$ olacak şekilde,  $1,2,\dots, k$ sayıları ile etiketlendirmenin mümkün olduğunu kanıtlayınız.
$[$ Bir çizge, uçlar diye adlandırılan noktalar kümesi ile bu uçlardan bazı çiftleri birleştiren kenarlar kümesinden oluşur. Her $u,v$ uç çifti, en fazla bir kenara aittir. Her farklı $x,y$ uçları için, her $v_i,v_{i+1}$ ($0\leq i < m$) çifti $G$ nin bir kenarı tarafından birleştirilecek ve $x=v_0,v_1,v_2,\dots, v_m=y$ olacak şekilde bir uçlar dizisi varsa, $G$ çizgesi bağlıdır diyoruz.$]$

$ABC$ bir üçgen ve $P$, $ABC$ üçgeninin iç bölgesinde bir nokta olsun. $\angle PAB$, $\angle PBC$, $\angle PCA$ açılarından en az birinin $30^\circ$ ye eşit ya da $30^\circ$ den küçük olduğunu gösteriniz.

$x_0,x_1,x_2, \dots$ gerçel sayılarından oluşan sonsuz bir diziye, her $i \geq 0$ için $|x_i| \leq C$  olacak şekilde bir $C$ sabiti varsa, sınırlı denir.
Herhangi bir $a>1$ gerçel sayısı verildiğinde, her negatif olmayan farklı $i,j$ tam sayı çifti için $$|x_i -x_j||i-j|^a \geq 1$$ olacak şekilde bir $x_0,x_1,x_2,\dots$ sınırlı sonsuz dizisi oluşturun.