Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 1990

Bir çemberin $AB$ ve $CD$ kirişleri, çemberin içerisindeki $E$ noktasında kesişiyor. $M$, $EB$ doğru parçası üzerinde bir nokta olsun. $D$, $E$, $M$ noktalarından geçen çembere $E$ de teğet olan doğru $BC$ ve $AC$ doğrularını sırasıyla $F$ ve $G$ de kesiyor. $$\dfrac{AM}{AB}=t$$ ise $$\dfrac{EG}{EF}$$ ifadesinin $t$ cinsinden değerini bulunuz.

$n\geq 3$ bir tam sayı olmak üzere; $E$ kümesi, bir çember üzerindeki farklı $2n-1$ noktadan oluşan bir küme olsun. Bu noktalardan tam olarak $k$ tanesi siyaha boyanıyor. Aralarındaki yaylardan biri üzerinde $E$ kümesinden tam olarak $n$ nokta olacak şekilde en az bir çift siyah noktanın bulunduğu boyamalara "iyi" diyeceğiz. $E$ nin $k$ noktasının her boyamasının iyi olduğu en küçük $k$ değerini bulunuz.

$$\dfrac{2^n+1}{n^2}$$ ifadesinin tam sayı olmasını sağlayan tüm $n>1$ tam sayılarını bulunuz.

Pozitif rasyonel sayıların kümesini $\mathbb{Q}^+$ ile gösterelim. Her $x,y \in \mathbb{Q}^+$ için, $$f\left(xf(y)\right) = \dfrac{f(x)}{y}$$ koşulunu sağlayan bir $f:\mathbb{Q}^+ \rightarrow \mathbb{Q}^+$ fonksiyonu bulunuz.

Başlangıçta verilmiş bir $n_0 > 1$ tam sayısı için, $\mathcal{A}$ ve $\mathcal{B}$ oyuncuları, $n_1, n_2, n_3, \dots$ sayılarını sırayla değişerek aşağıda tanımlanan şekilde seçiyor:
($n_{2k}$ sayısını bilerek) $\mathcal{A}$, $$n_{2k} \leq n_{2k+1} \leq n_{2k}^2$$ olacak şekilde bir $n_{2k+1}$ sayısını;
($n_{2k+1}$ sayısını bilerek) $\mathcal{B}$, $$\dfrac{n_{2k+1}}{n_{2k+2}}$$ sayısı bir asal sayının pozitif kuvveti olacak şekilde bir $n_{2k+2}$ sayısını seçiyor.
$\mathcal{A}$ oyuncusu $1990$ sayısını, $\mathcal{B}$ oyuncusu da $1$ sayısını seçtiği takdirde oyunu kazanıyor. Hangi $n_0$ sayıları için:

• $\mathcal{A}$ nın kazanan bir stratejisi vardır?
• $\mathcal{B}$ nin kazanan bir stratejisi vardır?
• İki oyuncunun da kazanan bir stratejisi yoktur?

Aşağıdaki iki özelliğe sahip dışbükey bir $1990-$genin bulunduğunu gösteriniz:

• Tüm açıları eşittir.
• $1990$ kenarın uzunlukları $1^2, 2^2, 3^2, \dots, 1990^2$ sayılarının bir dizilişidir.