$ABC$ eşkenar üçgeninin $BC$ kenarı üzerinde $A_1$, $A_2$; $CA$ kenarı üzerinde $B_1$, $B_2$; $AB$ kenarı üzerinde $C_1$, $C_2$ noktaları $A_1A_2B_1B_2C_1C_2$ dışbükey altıgeninin tüm kenarları eşit olacak şekilde seçiliyor. $A_1B_2$, $B_1C_2$ ve $C_1A_2$ doğrularının noktadaş olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
Asıl problemin çözümünden önce, bir alt problemi çözelim.
İddia: $\angle{ABC}=60^\circ$ olan $ABC$ üçgeninin $[AB]$ ve $[AC]$ kenarları üzerinden sırasıyla $D$ ve $E$ noktaları $|BD|=|DE|=|EC|$ olacak şekilde seçiliyor.$ABC$ üçgeninin çevrel merkezi $BE$ ile $CD$ nin kesim noktasındadır.*
İspat: $\angle{ADE}=2\angle{DBE}=2\angle{DEB}=2\alpha $ ve $\angle{AED}=2\angle{EDC}=2\angle{ECD}=2\beta $ diyelim.$\alpha+\beta=60^\circ$ olduğu kolayca görülebilir.$BE \cap CD =F$ olsun .Buna göre, $\angle{DFE}=120^\circ$ dir. O halde $ADFE$ bir kirişler dörtgenidir. Bu dörtgende $\angle{DAF}=\angle{DEF} , \angle{EAF}=\angle{EDF}$ açı eşitlikleri vardır.Bu son eşitlikler ile birlikte $|FA|=|FB|=|FC|$ olduğunu görüyoruz. Buna göre $F$ noktası çevrel çemberin merkezidir.
Bu sonucu asıl problemde $AB_{1}C_{2} , BC_{1}A_{2} , CA_{1}B_{2}$ üçgenleri için uygularsak sırasıyla $B_{1}C_{1}\cap B_{2}C_{2} , A_{1}C_{1} \cap A_{2}C_{2} , A_{1}B_{1} \cap A_{2}B_{2}$ kesim noktaları bu üçgenlerin çevrel çember merkezlerini oluştururlar. Buradan $$\angle{B_{2}C_{2}B_{1}}= \angle{C_{1}B_{1}B_{2}}=\angle{A_{1}C_{1}A_{2}}=\angle{A_{2}C_{2}A_{1}}=\angle{A_{1}B_{2}A_{2}}=\angle{B_{1}A_{1}B_{2}}=30^\circ$$ eşitliklerini ve bu eşitliklerin sonucunda $$A_{1}A_{2}B_{2}C_{1} , A_{2}B_{1}C_{1}C_{2} , A_{1}B_{1}B_{2}C_{2}$$ dörtgenlerinin birer kirişler dörtgeni (ikizkenar yamuk) olduğunu görmekteyiz. Açılar bu dörtgenlere göre incelendiğinde $$\angle{A_{1}B_{1}C_{2}}= \angle{A_{1}B_{2}C_{2}}=\angle{A_{2}C_{1}B_{1}}=\angle{A_{2}C_{2}B_{1}}=\angle{B_{2}A_{1}C_{1}}=\angle{B_{2}A_{2}C_{1}}=30^\circ$$ şeklinde yeni açı eşitliklerine ulaşırız. Sonuç olarak $A_{1}B_{1}C_{1}$ ve $A_{2}B_{2}C_{2}$ üçgenleri eşkenar üçgenler ve $A_{1}B_{2} , B_{1}C_{2} , C_{1}A_{2}$ doğruları bu üçgenlerin iç açıortayları olduğundan aynı bir noktadan geçerler.
İddia: $\angle{ABC}=60^\circ$ olan $ABC$ üçgeninin $[AB]$ ve $[AC]$ kenarları üzerinden sırasıyla $D$ ve $E$ noktaları $|BD|=|DE|=|EC|$ olacak şekilde seçiliyor.$ABC$ üçgeninin çevrel merkezi $BE$ ile $CD$ nin kesim noktasındadır.*
İspat: $\angle{ADE}=2\angle{DBE}=2\angle{DEB}=2\alpha $ ve $\angle{AED}=2\angle{EDC}=2\angle{ECD}=2\beta $ diyelim.$\alpha+\beta=60^\circ$ olduğu kolayca görülebilir.$BE \cap CD =F$ olsun .Buna göre, $\angle{DFE}=120^\circ$ dir. O halde $ADFE$ bir kirişler dörtgenidir. Bu dörtgende $\angle{DAF}=\angle{DEF} , \angle{EAF}=\angle{EDF}$ açı eşitlikleri vardır.Bu son eşitlikler ile birlikte $|FA|=|FB|=|FC|$ olduğunu görüyoruz. Buna göre $F$ noktası çevrel çemberin merkezidir.
Bu sonucu asıl problemde $AB_{1}C_{2} , BC_{1}A_{2} , CA_{1}B_{2}$ üçgenleri için uygularsak sırasıyla $B_{1}C_{1}\cap B_{2}C_{2} , A_{1}C_{1} \cap A_{2}C_{2} , A_{1}B_{1} \cap A_{2}B_{2}$ kesim noktaları bu üçgenlerin çevrel çember merkezlerini oluştururlar. Buradan $$\angle{B_{2}C_{2}B_{1}}= \angle{C_{1}B_{1}B_{2}}=\angle{A_{1}C_{1}A_{2}}=\angle{A_{2}C_{2}A_{1}}=\angle{A_{1}B_{2}A_{2}}=\angle{B_{1}A_{1}B_{2}}=30^\circ$$ eşitliklerini ve bu eşitliklerin sonucunda $$A_{1}A_{2}B_{2}C_{1} , A_{2}B_{1}C_{1}C_{2} , A_{1}B_{1}B_{2}C_{2}$$ dörtgenlerinin birer kirişler dörtgeni (ikizkenar yamuk) olduğunu görmekteyiz. Açılar bu dörtgenlere göre incelendiğinde $$\angle{A_{1}B_{1}C_{2}}= \angle{A_{1}B_{2}C_{2}}=\angle{A_{2}C_{1}B_{1}}=\angle{A_{2}C_{2}B_{1}}=\angle{B_{2}A_{1}C_{1}}=\angle{B_{2}A_{2}C_{1}}=30^\circ$$ şeklinde yeni açı eşitliklerine ulaşırız. Sonuç olarak $A_{1}B_{1}C_{1}$ ve $A_{2}B_{2}C_{2}$ üçgenleri eşkenar üçgenler ve $A_{1}B_{2} , B_{1}C_{2} , C_{1}A_{2}$ doğruları bu üçgenlerin iç açıortayları olduğundan aynı bir noktadan geçerler.