Geomania.Org Forumları

$ABC$ eşkenar üçgeninin $BC$ kenarı üzerinde $A_1$, $A_2$; $CA$ kenarı üzerinde $B_1$, $B_2$; $AB$ kenarı üzerinde $C_1$, $C_2$ noktaları $A_1A_2B_1B_2C_1C_2$ dışbükey altıgeninin tüm kenarları eşit olacak şekilde seçiliyor. $A_1B_2$, $B_1C_2$ ve $C_1A_2$ doğrularının noktadaş olduğunu gösteriniz.

$a_1,a_2,\dots$ tam sayılar dizisi, sonsuz çoktuklukta pozitif ve sonsuz çoklukta negatif elemandan oluşmaktadır. Her $n$ pozitif tam sayısı için, $a_1,a_2,\dots, a_n$ sayılarının $n$ ile bölününce $n$ farklı kalan bıraktığını varsayalım. Bu durumda, $a_1,a_2,\dots$ dizisinde her tam sayının tam olarak bir kez geçtiğini kanıtlayınız.

$x,y,z$ pozitif gerçel sayıları için $xyz\geq 1$ olmak üzere;
$$\dfrac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}+\dfrac{y^5-y^2}{x^2+y^5+z^2}+\dfrac{z^5-z^2}{x^2+y^2+z^5} \geq 0$$ olduğunu kanıtlayınız.

$$a_n = 2^n + 3^n + 6^n - 1, \quad n\geq 1$$ sonsuz dizisinin tüm terimleri ile aralarında asal olan tüm pozitif tam sayıları belirleyiniz.

$ABCD$, $BC$ ile $DA$ paralel olmayacak ve $BC=DA$ olacak şekilde sabit bir dışbükey dörtgen olsun. $E$ ve $F$ sırasıyla $BC$ ve $DA$ kenarları üzerinde $BE=DF$ koşulunu sağlayan hareketli noktalar olsun. $AC$ ile $BD$ doğrusu $P$ de, $BD$ ile $EF$ doğrusu $Q$ da, $EF$ ile $AC$ doğrusu da $R$ de kesişiyor.
$E$ ve $F$ değişirken, $PQR$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin $P$ den başka ortak bir noktaya sahip olduklarını kanıtlayınız.

Katılımcılara $6$ soru yöneltilen bir matematik yarışmasında, herhangi iki soruyu yarışmacıların $\frac 25$ sinden daha fazlası çözmüştür. Ayrıca, $6$ soruyu da çözen bir yarışmacı çıkmamıştır. Tam olarak $5$ soruyu çözen en az $2$ yarışmacının bulunduğunu gösteriniz.