Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 2004

$ABC$, kenarları arasında $AB \neq AC$ bağıntısı olan dar açılı bir üçgen olsun. $BC$ çaplı çember, $AB$ ve $AC$ kenarlarını sırasıyla $M$ ve $N$ noktalarında kesiyor. $BC$ kenarının orta noktasını $O$ ile gösterelim. $\angle BAC$ ve $\angle MON$ açılarının iç açıortayları $R$ de kesişmektedir. $BMR$ ve $CNR$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin $BC$ kenarı üzerinde yer alan ortak bir noktalarının olduğunu kanıtlayınız.

$ab+bc+ca=0$ eşitliğini sağlayan her $a,b,c$ gerçel sayıları için $$f(a-b)+f(b-c)+f(c-a)=2f(a+b+c)$$ bağıntısının sağlandığı tüm gerçel katsayılı polinomları bulunuz.

Aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi altı birim kareden oluşan şekle, ya da bu şeklin döndürülmesi ya da yansıtılması ile oluşabilecek şekle "kanca" diyoruz.
Herhangi iki kanca üst üste binmeyecek ve hiçbir kanca dikdörtgenin dışına taşmayacak şekilde kancalar kullanarak tamamen kaplanabilecek tüm $m\times n$ dikdörtgenleri belirleyiniz.

$n\geq 3$ bir tam sayı olmak üzere; $t_1,t_2,\dots, t_n$ pozitif gerçel sayıları $$n^2+1 > (t_1+t_2+\dots+t_n)\left(\dfrac 1{t_1} + \dfrac 1{t_2} + \dots + \dfrac 1{t_n} \right)$$ koşulunu sağlasın. $1\leq i < j < k \leq n$ koşulunu sağlayan her $i$, $j$, $k$ sayıları için $t_i$, $t_j$, $t_k$ sayılarının bir üçgenin kenarları olduğunu gösteriniz.

$ABCD$ dışbükey dörtgeninde, $BD$ köşegeni $ABC$ açısının da $CDA$ açısının da açıortayı değildir. $P$ noktası, $ABCD$ nin iç bölgesinde $$\angle PBC = \angle DBA \text{ ve } \angle PDC = \angle BDA$$ olacak şekilde bir noktadır. $ABCD$ dörtgeninin kirişler dörtgeni olması için gerek ve yeter koşulun $AP=CP$ olduğunu kanıtlayınız.

Ondalık yazılımında ardışık herhangi iki basamağı teklik-çiftlik açısından farklı olan pozitif tam sayıya değişimli sayı diyoruz. $n$ pozitif tam sayısının değişimli bir tam kata sahip olmasını sağlayan tüm $n$ pozitif tam sayılarını bulunuz.