Geomania.Org Forumları

$A$ kümesi $S=\{1,2,\dots, 1000000\}$ kümesinin $101$ elemanlı bir alt kümesi olsun. $$A_j = \{ x+t_j \mid x \in A \}, \quad j=1,2,\dots, 100$$ kümeleri ikişerli olarak ayrık olacak şekilde $S$ ye ait $t_1,t_2, \dots, t_{100}$ sayılarının bulunduğunu kanıtlayınız.

$$\dfrac{a^2}{2ab^2 - b^3 + 1}$$ sayısının pozitif bir tam sayı olmasını sağlayan tüm $(a,b)$ pozitif tam sayı ikililerini belirleyiniz.

Her karşılıklı kenarları için, bu iki kenarın orta noktaları arasındaki uzaklık, bu iki kenarın uzunlukları toplamının $\dfrac {\sqrt 3}{2}$ katına eşit olan dışbükey bir altıgenin tüm açılarının eşit olduğunu kanıtlayınız.

(Dışbükey $ABCDEF$ altıgeninin üç çift karşılıklı kenarı vardır: $AB$ ile $DE$, $BC$ ile $EF$, $CD$ ile $FA$)

$ABCD$ kirişler dörtgeninde, $D$ noktasından $BC$, $CA$, $AB$ doğrularına inilen dikmelerin ayakları sırasıyla $P,Q,R$ olsun. $PQ=QR$ olması için gerek ve yeter koşulun $\angle ABC$ ile $\angle ADC$ açısının açıortaylarının $AC$ ile noktadaş olması olduğunu gösteriniz.

$n$ pozitif bir tam sayı ve $x_1 \leq x_2 \leq \dots \leq x_n$ gerçel sayılar olsun. $$ \left( \sum_{i,j=1}^{n}|x_i-x_j| \right)^2 \leq \dfrac{2(n^2-1)}{3} \sum\limits_{i,j=1}^n (x_i - x_j)^2$$ olduğunu kanıtlayınız. Eşitliğin sağlanması için gerek ve yeter koşulun $x_1, \dots, x_n$ in aritmetik bir dizi olması olduğunu gösteriniz.

$p$ bir asal sayı olsun. $q$ sayısı, hiçbir $n$ tam sayısı için, $n^p - p$ sayısını bölmeyecek şekilde bir $q$ asal sayısının bulunduğunu kanıtlayınız.