Geomania.Org Forumları

İşte beklenen çalışma, Alan Problemleri nihayet hazır  Şöyle sırf alan problemlerinin olduğu bir çalışma kağıdımız olsa, sorularla yaka paça olsak, stres bassa ve terlesek diyenlerin sesine kulak verdik! Ünlü geometrici V. Prasolov'un ingilizceye Plane Geometry ismiyle çevrilmiş kitabının 73 soruluk alanlar bölümünün ilk 25 problemlik kısmını sunuyoruz. Kalan problemler de ilerleyen günlerde eklenecektir.

Çözümleriyle beraber dökümanı oluşturmak oldukça fazla zaman alacağını birçoğumuz biliyoruz. Bununla beraber çözümleri bu başlık altında toplayabiliriz. (ayrıca bir kısmı zaten forumda çözülmüştü) Giriş Problemleri başlığındaki 5 problem oldukça temel düzeyde olduğundan çözüm yazmak için de zaman kaybetmeyelim. (Orijinal metne sadık kalmak maksadıyla ekledik)

Son olarak 10. Problemin şeklini kuramadım. Şöyle diyor: In a rectangle ABCD there are inscribed two distinct rectangles with a common vertex K lying on side AB. Prove that the sum of their areas is equal to the area of rectangle ABCD.
bunun şeklini çizerek ifade edebilen üyelerimiz olursa, dökümana ekleyip güncelleyebiliriz.

Hayırlı çalışmalar, Kolay gelsin ...

...

...

İlginç bir problem çözme tekniğini sizlerle paylaşalım. Cebirsel Problemler İçin Geometrik Yaklaşımlar çalışmaya doyamayacağınız çok zevkli bir konudur. Hayırlı çalışmalar

Cavalieri ilkesine ait örnekler lazım yarın teftişimvar

Cem Tezer bey'in geometri - 1 ders notları. içerik şöyle:

- üçgende temel özellikler
- hesaplama problemleri
- Menelaus ve Ceva teoremlerinin uygulamaları
- Simson doğrusu
- çember
- konik kesitler ve poncelet teoremleri
- izometriler ve homotetiler
- evirtim
- kutup

...

Olimpiyatlara hazırlık için yabancı kaynak ve yarışmalardan derlenmiştir. Notlarda hatlar mevcut olabilir. Yazımı bittikten sonra hiç kontrol edilmemiştir.

Eklerde 18 soruluk çözümlü tashihi yapılmamış elips ve hiperbol testlerim var. Paylaşmak istedim.
Sorular biraz zor seviyede olduğu için fantezi bölümüne açtım.

evirtim konusuna yeni başlayanlar için Cem Tezer'in MD de yayınlanan makalalerine çalışmak iyi bir tercih olacaktır. (ben de evitrim konusunu ilk olarak bu makaleden çalışmıştım). makalenin ikinci parçasını bulursak onu da ekleyebiliriz. Birçok zor geometri problemini evirtim yardımıyla daha kolay biçimde çözebilirsiniz ...

Önceden yapılan bir çeviri.Burada bulunsun.Gerek olunca zor buluyorum.

Üçgenlerde açıyı sıfırlayıp çözme yöntemi var acaba onlarla ilgili bir kaç soru ve çözüm atabilirmisiniz. Teşşekkürler.

   
$\textit{Problem 1}$

$P$ noktası $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üzerinde $AP$ doğrusu $\angle{BAC}$ açısının açıortayı olacak şekilde alınmış bir noktadır. $[AP]$ nin orta noktası $M$ olsun. $A$ dan $[BC]$ ye inilen dikin ayağı $Q$ noktasıdır. $PMQ$ üçgeninin çevrel çemberi $CM$ doğrusunu $Z$ noktasında kesiyor. Buna göre $A,Z,Q,B$ noktalarının çembersel olduğunu kanıtlayınız.


$\textit{Problem 2}$

$I$ merkezli $\omega$ çemberi $ABC$ üçgeninin içteğet çemberi olmak üzere $\omega_A$ çemberi $\omega$ çemberine dıştan teğet $[AB]$ ve $[AC]$ kenarlarına sırasıyla $A_1$ ve $A_2$ noktalarında teğet olan çemberdir. Benzer biçimde $B_1,B_2,C_1,C_2$ noktaları tanımlanıyor. $A_1A_2,B_1B_2$ ve $C_1C_2$ doğrularının belirlediği üçgen $XYZ$ üçgeni ise $XYZ$ üçgeninin içteğet çemberinin merkezinin, çevrel çemberinin merkezinin ve $I$ noktasının doğrusal olduğunu gösteriniz.


$\textit{Problem 3}$

$ABC$ üçgeninde $[AH]$ bir yükseklik ve $O$ çevrel çemberin merkezi olmak üzere $H$ dan geçen ve $OH$ doğrusuna dik olan doğru $CA$ ve $AB$ doğrularını sırasıyla $E$ ve $F$ noktalarında kesiyor. $OFB,OHB,OEC,OHC$ üçgenlerinin diklik merkezleri sırasıyla $M,N,P,Q$ noktalarıysa $MN,PQ,EF$ doğrularının noktadaş olduğunu kanıtlayınız.


$\textit{Problem 4}$

$|AC|= |BC|$ olan bir $ABC$ üçgeninin içinde $\angle{{PAB}}= \angle{{PBC}}$ olacak şekilde bir $P$ noktası alınıyor. $M$ noktası $[AB]$ kenarının orta noktası ise $\angle{{APM}}+\angle{{BPC}}=180$ olduğunu gösteriniz.


$\textit{Problem 5}$

İkizkenar olmayan bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi $\Gamma$ olsun. $\angle{BAC}$ açısının açıortayı $[AC]$ kenarını $D$ noktasında ve $\Gamma$ çemberini $L$ noktasında kesiyor. $D$ noktasının $[BC]$ kenarının orta noktasına göre yansıması $E$ noktası ve $[PQ]$ doğru parçası da çemberin çapı olmak üzere $BC$ doğrusuna sırasıyla $D$ ve $E$ noktalarında dik olan doğrular $AP$ ve $QL$ doğrularını $X$ ve $Y$ noktalarında kesiyor. Buna göre $BXYC$ dörtgeninin kirişler dörtgeni olduğunu gösteriniz.


$\textit{Problem 6}$

Bir $ABC$ üçgeninde $E$ ve $F$ noktaları $[AC]$ ve $[AB]$ kenarı üstünde noktalar olmak üzere $[BE]$ ve $[CF]$ açıortayları $I$ noktasında kesişiyor. $AI$ doğrusu $ABC$ üçgeninin çevrel çemberini $A$ dan farklı bir $D$ noktasında kesiyor. $EF$ doğrusu ise $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi ile sırasıyla $M$ ve $N$ noktalarında kesiyor. $MI$ ve $NI$ doğruları $ABC$ üçgeninin çevrel çemberiyle $P$ ve $Q$ noktalarında kesişiyor. $PQ$ doğrusu $AB$ ve $AC$ doğrularını sırasıyla $K$ ve $L$ noktalarında kesiyor. Buna göre $ABC$ ve $AKL$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin birbirine teğet olduğunu gösteriniz.


$\textit{Problem 7}$

$ABC$ üçgeninin $[BC]$ ye teğet olan dışteğet çemberin merkezi $J$ olmak üzere $A$ ve $B$ noktalarından geçen bir çember $J$ merkezli dış teğet çembere $M$ noktasında teğet, $A$ ve $C$ noktalarından geçen bir çember ise $J$ merkezli dış teğet çembere $N$ noktasında teğettir. $BM$ ve $CN$ doğruları $P$ noktasında kesişiyor. $[BC]$ kenarına ve $ABC$ nin çevrel çemberine teğet olan çember $\Omega$ ise $AP$ doğrusunun $\Omega$ çemberine teğet olduğunu gösteriniz.


$\textit{Problem 8}$

Düzlemde $P_1,P_2,P_3,$ $...$ $P_n$ noktaları her $i,j$ $\in$ $[1,n]$ için $|P_iP_j|$ $=$ $|i-j|$ olacak biçimde alınmıştır. Düzlemde alınan bir başka $Q$ noktası için $|QP_2|^2$ $-$ $|QP_1|^2$  $=$ $4$ ise $|QP_n|^2$ $-$ $|QP_{n-1}|^2$ in kaç olduğunu belirleyiniz.


$\textit{Problem 9}$

Bir $ABC$ üçgeninde $[AH]$ yüksekliği üzerinde bir $P$ noktası alınıyor. $E$ ve $F$ noktaları sırasıyla $[AC]$ ve $[AB]$ kenarının orta noktaları olacak şekilde alınıyor. $E$ noktasından $CP$ ye inilen dik ve $F$ noktasından $BP$ ye inilen dik bir $K$ noktasında kesişiyorsa $|KB|$ $=$ $|KC|$ olduğunu gösteriniz.


$\textit{Problem 10}$

$s(BCA)$ $=$ $90$ olan bir $ABC$ üçgeninde $C$ noktasından $[AC]$ kenarına inilen dikin ayağı $D$ noktası olsun. $[CD]$ üstünde bir $X$ noktası alalım. $[AX]$ doğru parçası üzerinde $K$ noktasını $|BK|$ $=$ $|BC|$ olacak şekilde alalım. Benzer şekilde $L$ noktasını da $[BX]$ üzerinde $|AL|$ $=$ $|AC|$ olacak şekilde alalım. $DKL$ üçgeninin çevrel çemberinin $AB$ doğrusunu ikinci kez kestiği nokta $D$ den farklı $T$ noktası olsun. Buna göre $m(\widehat{ACT})$ $=$ $m(\widehat{BCT})$ olduğunu gösteriniz.

O. Bottema, R. Z. Djordjivic, R. R. Janic, D. S. Mitrinovic, P. M. Vasic tarafından yazılıp 1969 da yayınlanan Geometrik Esitsizlikler isimli bu eserin Türkçe tercümesini www.geomania.org aracılığıyla matematik severlerin hizmetine sunuyoruz. Geometrik eşitsizlikler konusunda bir basyapıt olan bu eser Batı dünyasında bir övgü ifadesi olarak Bible of Bottema (Bottema’nın İncil’i) ismiyle anılır. Biz belli bir dine ait kutsal kitap isimlerini karıştırmadan sadece isin geometri tarafıyla ilgileneceğiz Kitap bitirilince övgüye layık olduğu bu yolun sarrafları tarafından zaten takdir edilecektir …

.....

$AC>BC$ olan dar açılı bir $ABC$ üçgeninde çevrel çember $w$ ve bu çemberin yarıçapı $r$ olsun. $[AC]$ üzerinde $BC=BP$ olmasını sağlayan bir $P$ noktası alınıyor. $P$'den $AB$'ye inen dikme ayağı $S$ olsun. $BP$'nin $w$ ile ikinci kesişimi $D$ olsun. $SP$ doğrusu üzerinde $P$'ye göre $S$ ile farklı tarafta olan ve $QP=r$ olmasını sağlayan bir $Q$ noktası alınıyor. $B$'den $DQ$'ya inen dikme ve $A$-dan $CQ$'ya inen dikmenin kesişimi $E$ olmak üzere $E$'nin $w$ üzerinde olduğunu ispatlayınız.

$ABCD,\angle{BAD}<\angle{ADC}$ olan çembersel bir dörtgen olsun. $M$ noktası $A$'yı içermeyen $CD$ yayının orta noktası olsun. $ABCD$ dörtgeninin içinde $\angle{ADP}=\angle{PCB}$ ve $\angle{ADB}=\angle{CPD}$ olmasını sağlayan bir $P$ noktası alalım.
$AD,PM,BC$ doğrularının noktadaş olduğunu ispatlayınız.

...

bkz. Model 1.3

Geometrideki ilginç eşitsizliklerinden biri de Ptolemy Eşitsizliği dir. Bu yazımızda Ptolemy eşitsizliğini ve birkaç uygulamasını sunacağız. Hayırlı çalışmalar ...

Daha önce sitemizde Ravi dönüşümü ile ilgili olarak sunduğum bazı problemleri derleyerek çözümlü bir çalışma kağıdı hazırladım. Faydalı olması dileğiyle, esenlikler ...

Kolay gelsin...

Geometrinin zarif konularından biri olan simedyan ve uygulamalarını kapsamlı bir şekilde ele alan bu notları, başta matematik olimpiyatlarına hazırlanan öğrenciler olmak üzere, tüm geometri meraklılarına sunmaktan mutluluk duyarız.

Bu çalışmada, teorik bilgileri adım adım inşa ederken, her seviyeden okuyucunun keyifle üzerinde düşünebileceği olimpiyat düzeyinde problemlerle konuyu pekiştirmeyi hedefledik. Dokümanı hazırlarken, literatürde rastlamadığımız ve özgün olduğunu düşündüğümüz bazı problemler ile çözümlerine de yer vererek içeriği zenginleştirmeye özen gösterdik. Yararlandığımız tüm kıymetli eserleri ve yazarları ise kaynakça bölümünde belirttik.

Her türlü soru ve geri bildiriminiz, bu notların gelecekteki sürümlerini daha da iyileştirmemiz için bize yol gösterecektir.

Faydalı olması dileğiyle,
Lokman Gökçe, İstanbul
H. İbrahim Ayana, Aksaray

10. sınıf öğrencilerime çalışması için Vektörler ile ilgili bir döküman hazırlamıştım. Sizlerle paylaşalım ...

Bu başlıkta yabancı dergilerde basılan problemlerimi ve çözümlerimi sunacağım. Şu anda sadece Mathematics Magazine (MM) dergisine problem gönderiyorum. Şimdilik niyetim yok ama ileride başka yayına da problem gönderirsem onları da ekleyebilirim. Dilerseniz bu problemlere ürettiğiniz farklı çözümlerinizi buradan paylaşabilirsiniz.


Problem 1. Kenar uzunlukları birer tam sayı ve $m(\widehat{A}) = 3\cdot m(\widehat{B})$ olan $ABC$ üçgeninin çevresinin alabileceği en küçük değer kaçtır?


Notlar:

1. Problem, Mathematical Assocation of America (MAA) bünyesindeki Mathematics Magazine (MM) dergisinde Ekim 2017 sayısında 2026 problem numarasıyla basılmıştır. İlgili sayfa ektedir.

2. $m(\widehat{A})=3\cdot m(\widehat{B})$ olan $ABC$ üçgeninin kenarları arasındaki bağıntı buradaki ''x-3x Üçgeni'' başlığı altında incelenmişti.

3. $m(\widehat{A})=2\cdot m(\widehat{B})$ ve kenarları tam sayı olan en küçük çevreli üçgenin kenarları $4,5,6$ uzunluklarına sahiptir. Şurada verilen bağıntıdan faydalanılabilir.

Tanım. Bir $ABC$ üçgeninde dış teğet çemberlerin kenar üzerinde bulunmayan değme noktalarından geçen  $A_2A_3 ,B_2B_3, C_2C_3$   doğruların kesim noktaları $A',B',C'$ olsun.
Bu durumda $A'B'C'$  üçgeni $ABC$ üçgeninin kutup üçgenidir (Şekil 1). 



Problem1.
$ABC$ üçgeninin kutup üçgeni $A'B'C'$ olmak üzere,

i.   $AA', BB' ,CC'$ doğruları aynı bir noktadan geçerler. $AA'\cap BB'\cap CC'=\{H\}$  olmak üzere,
$H$ noktası $ABC$ üçgeninin diklik merkezi iken $A'B'C'$  üçgeninin çevrel çemberinin merkezidir (Şekil 2).

ii. $BC\cap B'C'=\{P\} ,CA\cap C'A'=\{Q\}, AB\cap A'B'=\{R\}$ olmak üzere $P, Q, R$ noktaları doğrusaldır.


Problem2.
$I_a, I_b, I_c$ noktaları $ABC$ üçgeninin dış teğet çemberinin merkezleri ve kutup üçgeni de $A'B'C'$ olmak üzere,

i. $A'B'C'$ üçgeni ile $I_aI_bI_c$ üçgeni benzerdir.

ii. $A'I_a, B'I_b, C'I_c$ doğruları noktadaştır.

Problem3.
$r$ ve $R,  ABC$ üçgeninin sırasıyla iç teğet çemberinin ve çevrel çemberinin yarıçapları olmak üzere, $A'B'C'$ kutup üçgeni için aşağıdaki bağıntılar geçerlidir.
i. $$Çevre(A'B'C')=(4R+2r)(\cos\dfrac{A}{2}+\cos\dfrac{B}{2}+\cos\dfrac{C}{2})$$
ii. $$Alan(A'B'C')=\dfrac{u}{2R}(2R+r)^2$$
iii. $R' , A'B'C'$ üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı olmak üzere,
$$R'=2R+r$$
dir.

soruyu başa ekledim...biraz geç oldu ama:)

yakın zamanda forumda sorulmuş bir soruydu ...

Cem Tezer in tavsiyeleridir

Homoteti nedir, ne değildir?? İlgili çok kaynak bulamadım, yardımcı olur musunuz???

bazı yabancı dergilerde sorulmuş geometri problemlerini ve çözümlerini vereceğiz. güzel problemler

Ordan burdan derlediğim problemler...

Ekte çember ip sorularının çözümü için yardımcı olacak bir örnek ve animasyonu mevcut..