Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 2002 Çözümleri
« 2001 2003 »
« Sorulara Git
Geri

Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 2002 Çözümleri

1
$n$ pozitif bir tam sayı olsun. $x$, $y$ $x+y<n$ koşulunu sağlayan negatif olmayan tam sayılar olmak üzere; $T$ ile düzlemdeki $(x,y)$ noktalarının kümesini gösterelim. $T$ deki her nokta kırmızı ya da maviye boyanıyor. Bir $(x,y)$ noktası kırmızı ise, $T$ deki $x'\leq x$ ve $y'\leq y$ eşitsizliklerinin ikisini de sağlayan $(x',y')$ noktaları da kırmızıdır. Farklı $x$-koordinatına sahip $n$ mavi noktadan oluşan bir kümeye $X$ kümesi, farklı $y$-koordinatına sahip $n$ mavi noktadan oluşan bir kümeye $Y$ kümesi diyelim. $X$ kümelerinin sayısı ile $Y$ kümelerinin sayısının eşit olduğunu kanıtlayınız.
2
$BC$, $O$ merkezli $\Gamma$ çemberinin bir çapı olsun. $A$, $\Gamma$ üzerinde $0^\circ < \angle AOB < 120^\circ$ koşulunu sağlayan bir nokta olsun. $D$, $C$ yi içermeyen $AB$ yayının orta noktası olsun. $O$ dan geçen ve $AD$ ye paralel olan doğru, $AC$ ile $J$ de kesişiyor. $AO$ nun orta dikmesi $\Gamma$ yı $E$ ve $F$ de kesiyor. $J$ nin $CEF$ üçgeninin iç merkezi olduğunu kanıtlayınız.
Çözüm:
$AO$ nun orta noktası $M$ olsun. $2\cdot MO  = OF$ olduğu için $\angle MFO = 30^\circ$ ve $AO=AF=OF$ olacaktır. $m(AE) = m(AF) = 60^\circ$, dolayısıyla, $\angle ACF = \angle ECF = 30^\circ$ olur. $J$, $\angle ECF$ nin iç açıortayı üzerinde. O halde, $\angle EJF = 90^\circ + \dfrac{\angle ECF}{2} = 120^\circ$ olduğunu gösterirsek; $J$, $\triangle ECF$ nin iç merkezi olacak.
$D$, $AB$ yayının orta noktası olduğu için $OD$, $AB$ yi ortalar. Aynı zamanda $BO=OC$ olduğu için $OD \parallel AC$ dir. Soruda, $AD\parallel OJ$ verildiği için, $ADOJ$ bir paralelkenar ve $AJ=OD=AO=AF=AE$ dir. O halde, $A$ merkezli, $AF$ yarıçaplı çember, $F$, $J$, $O$, $E$ noktalarından geçer. $EOJF$ kirişler dörtgeninde, $\angle EJF = \angle EOF = 120^\circ$ dir. O halde, $J$, $\triangle ECF$ nin iç merkezidir.
3
Sonsuz sayıda $a$ pozitif tam sayısı için $$\dfrac{a^m+a-1}{a^n +a^2-1}$$ sayısını tam sayı yapan tüm $m, n \geq 3$ tam sayı ikililerini bulunuz.
4
$n$, $1$ den büyük bir tam sayı olsun. $n$ nin pozitif tam bölenleri $$1=d_1<d_2<\dots <d_k = n$$ ve $D=d_1d_2 + d_2d_3 + \dots + d_{k-1}d_k$ olsun.
Çözüm:
$p\leq k$ olmak üzere $d_p=\dfrac{n}{d_{k+1-p}}$ olduğunu kullanarak
$$\begin{array}{lcl}
D &=& d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k \\ &=& \dfrac{n^2}{d_{k}d_{k-1}}+\dfrac{n^2}{d_{k-1}d_{k-2}}+\cdots+\dfrac{n^2}{d_{2}d_{1}}\\ &=& n^2\left(\dfrac{1}{d_{k}d_{k-1}}+\dfrac{1}{d_{k-1}d_{k-2}}+\cdots+\dfrac{1}{d_{2}d_{1}}\right) \\ &\leq & n^2\left(\dfrac{1}{k\left(k-1\right)}+\dfrac{1}{\left(k-2\right)\left(k-2\right)}+\cdots+\dfrac{1}{2.1}\right) \end{array}$$
$\sum\limits_{n=1}^{j}{\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}}=1-\dfrac{1}{j}$ olduğundan

$$D\leq n^2\left(\dfrac{1}{k\left(k-1\right)}+\dfrac{1}{\left(k-2\right)\left(k-2\right)}+\cdots+\dfrac{1}{2.1}\right)=n^2\left(1-\dfrac{1}{k}\right)< n^2$$
elde edilir ve $a)$ kısmı ispatlanmış olur.
$b)$ kısmına gelelim. $D|n^2$ durumunda
$$1<\dfrac{n^2}{D}\leq \dfrac{n^2}{d_{k-1}d_{k}}=d_1d_2=d_2$$
olduğundan D ifadesinin $n^2$'in tam böleni olması için
$D=d_{k-1}d_{k}$ dolayısıyla $k=2$ olmalıdır. Aksi halde $a)$ probleminden dolayı $n^2$'nin kendisine eşit olamaz ve $n^2$'yi tam bölemez. $k=2$ olması ise $n$'in asal olması ile sonuçlanır. Dolayısıyla $D$, ancak ve ancak $n$'in asal olması ile $n^2$'nin tam böleni olur.
5
Her $x,y,z,t$ gerçel sayıları için $$\left(f(x)+f(z)\right)\left(f(y)+f(t)\right)=f(xy-zt)+f(xt+yz)$$ eşitliğini sağlayan tüm $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ fonksiyonlarını bulunuz.
6
$n\geq 3$ olmak üzere; düzlemde, $\Gamma_1, \Gamma_2, \dots, \Gamma_n$ $1$ yarıçaplı çemberler olsun. Sırasıyla, $O_1,O_2,\dots, O_n$ ile bu çemberlerin merkezlerini gösterelim. Hiçbir doğrunun ikiden fazla çemberi kesmediğini varsayalım. $$\sum\limits^{}_{1\leq i<j\leq n}{1\over O_iO_j}\leq{(n-1)\pi\over 4}$$ olduğunu kanıtlayınız.