Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 2002

$n$ pozitif bir tam sayı olsun. $x$, $y$ $x+y<n$ koşulunu sağlayan negatif olmayan tam sayılar olmak üzere; $T$ ile düzlemdeki $(x,y)$ noktalarının kümesini gösterelim. $T$ deki her nokta kırmızı ya da maviye boyanıyor. Bir $(x,y)$ noktası kırmızı ise, $T$ deki $x'\leq x$ ve $y'\leq y$ eşitsizliklerinin ikisini de sağlayan $(x',y')$ noktaları da kırmızıdır. Farklı $x$-koordinatına sahip $n$ mavi noktadan oluşan bir kümeye $X$ kümesi, farklı $y$-koordinatına sahip $n$ mavi noktadan oluşan bir kümeye $Y$ kümesi diyelim. $X$ kümelerinin sayısı ile $Y$ kümelerinin sayısının eşit olduğunu kanıtlayınız.

$BC$, $O$ merkezli $\Gamma$ çemberinin bir çapı olsun. $A$, $\Gamma$ üzerinde $0^\circ < \angle AOB < 120^\circ$ koşulunu sağlayan bir nokta olsun. $D$, $C$ yi içermeyen $AB$ yayının orta noktası olsun. $O$ dan geçen ve $AD$ ye paralel olan doğru, $AC$ ile $J$ de kesişiyor. $AO$ nun orta dikmesi $\Gamma$ yı $E$ ve $F$ de kesiyor. $J$ nin $CEF$ üçgeninin iç merkezi olduğunu kanıtlayınız.

Sonsuz sayıda $a$ pozitif tam sayısı için $$\dfrac{a^m+a-1}{a^n +a^2-1}$$ sayısını tam sayı yapan tüm $m, n \geq 3$ tam sayı ikililerini bulunuz.

$n$, $1$ den büyük bir tam sayı olsun. $n$ nin pozitif tam bölenleri $$1=d_1<d_2<\dots <d_k = n$$ ve $D=d_1d_2 + d_2d_3 + \dots + d_{k-1}d_k$ olsun.

• $D<n^2$  olduğunu kanıtlayınız.
• $D$ nin $n^2$ nin bir böleni olduğu tüm $n$ sayılarını belirleyiniz.

Her $x,y,z,t$ gerçel sayıları için $$\left(f(x)+f(z)\right)\left(f(y)+f(t)\right)=f(xy-zt)+f(xt+yz)$$ eşitliğini sağlayan tüm $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ fonksiyonlarını bulunuz.

$n\geq 3$ olmak üzere; düzlemde, $\Gamma_1, \Gamma_2, \dots, \Gamma_n$ $1$ yarıçaplı çemberler olsun. Sırasıyla, $O_1,O_2,\dots, O_n$ ile bu çemberlerin merkezlerini gösterelim. Hiçbir doğrunun ikiden fazla çemberi kesmediğini varsayalım. $$\sum\limits^{}_{1\leq i<j\leq n}{1\over O_iO_j}\leq{(n-1)\pi\over 4}$$ olduğunu kanıtlayınız.