Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 2001

Dar açılı $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $O$ olsun. $BC$ üzerindeki $P$, $A$ dan geçen yüksekliğin ayağı olsun.
$\angle BCA \geq \angle ABC + 30^\circ$ olduğunu kabul edelim.
$\angle CAB + \angle COP < 90^\circ$ olduğunu kanıtlayınız.

Her pozitif gerçel $a,b,c$ sayıları için
$$\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}} \geq 1$$ olduğunu kanıtlayınız.

Yirmi bir kız ile yirmi bir erkek bir matematik yarışmasına katılıyor.

• Her yarışmacı en fazla altı soru çözmüştür.
• Her kız ve erkek için, ikisinin de çözdüğü en az bir soru vardır.

Buna göre, en az üç kız ve en az üç erkek tarafından çözülen bir sorunun bulunduğunu kanıtlayınız.

$n$, $1$ den büyük tek bir tam sayı olsun. $k_1,k_2,\dots,k_n$ tam sayıları verilsin. $1,2,\dots,n$ sayılarının her $a=(a_1,a_2,\dots,a_n)$ permütasyonu için $$S(a)=\sum\limits_{i=1}^{n}k_ia_i$$ şeklinde tanımlanıyor. $n!$, $S(b)-S(c)$ yi bölecek şekilde $b$ ve $c$ permütasyonlarının ($b\neq c$) olduğunu kanıtlayınız.

$ABC$ üçgeninde, $BC$ üzerine $P$ noktası, $CA$ üzerinde $Q$ noktası, $AP$ doğrusu $\angle BAC$ nin açıortayı, $BQ$ doğrusu da $\angle ABC$ nin açıortayı olacak şekilde alınıyor. $\angle BAC=60^\circ$ ve $AB+BP=AQ+QB$ olduğunu biliniyor. Buna göre, $ABC$ üçgeninin açılarının alabileceği değerleri bulunuz?

$a,b,c,d$ tam sayıları $a>b>c>d>0$ eşitsizliğini sağlasın. $$ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c)$$ ise, $ab+cd$ nin asal olmadığını kanıtlayınız.