Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 2000

$\Gamma_1$ ve $\Gamma_2$ çemberleri $M$ ve $N$ de keşisiyor. $\ell$, $\Gamma_1$ ve $\Gamma_2$ nin $M$ ye yakın olan ortak teğeti olsun. $\ell$, $\Gamma_1$ e $A$ da, $\Gamma_2$ ye de $B$ de değmektedir. $M$ de geçen ve $\ell$ ye paralel olan doğru $\Gamma_1$ çemberini $C$ de, $\Gamma_2$ çemberini de $D$ de kesmektedir. $CA$ doğrusu ile $DB$ doğrusu $E$ de, $AN$ doğrusu ile $CD$ doğrusu $P$ de, $BN$ doğrusu ile $CD$ doğrusu $Q$ da kesiştiğine göre, $EP=EQ$ olduğunu gösteriniz.

$abc=1$ olacak şekilde alınan $a,b,c$ pozitif gerçel sayıları için $$\left(a-1+\dfrac 1b\right)\left(b-1+\dfrac 1c\right)\left(c-1+\dfrac 1a\right) \leq 1$$ olduğunu gösteriniz.

$n\geq 2$ pozitif tam sayı olmak üzere, başlangıçta $n$ adet pire, yatay bir doğru boyunca, hepsi birlikte aynı noktada olmayacak şekilde yer almaktadır.
$\lambda$ pozitif gerçel sayısı için, bir adım şu şekilde tanımlanıyor:
$A$, $B$ nin solunda olacak şekilde alınan $A$ ve $B$ noktalarındaki herhangi iki pire için, $A$ daki pire; doğru üzerinde $B$ nin sağında ve $BC/AB = \lambda$ şartını sağlayan $C$ noktasına atlıyor.
Doğru üzerindeki herhangi bir $M$ noktası için, başlangıçtaki $n$ pirenin dizilişi ne olursa olsun, tüm pireleri $M$ nin sağına taşımayı mümkün kılan tüm $\lambda$ değerlerini belirleyiniz.

Bir sihirbaz $1$ den $100$ kadar numaralanmış yüz kartı, biri kırmızı, diğeri beyaz, öteki mavi üç kutuya her kutuda en az bir kart olacak şekilde yerleştiriyor.
İzleyicilerden biri bu kutulardan ikisini seçtikten sonra, her iki kutudan da bir kart çekerek, bu kartların üzerinde yazan sayıların toplamını söylüyor. Bu toplama göre, sihirbaz içinden kart alınmayan kutuyu belirleyebiliyor.
Tüm kartlar bu kutulara, yukarıda anlatılan numara her zaman işleyecek şekilde kaç farklı biçimde dağıtılabilir? (Kartlardan en az biri farklı bir kutuya konmuşsa, bu iki yol farklı sayılacak.)

$n$, tam olarak $2000$ asal sayı tarafından bölünecek ve $2^n+1$ sayısı $n$ ile bölünecek şekilde bir $n$ pozitif tam sayısının bulunup bulunmadığını belirleyiniz.

$AH_1$, $BH_2$, $CH_3$ doğru parçaları dar açılı $ABC$ üçgeninin yükseklikleri olsun. $ABC$ üçgeninin içteğet çemberi $BC$, $CA$, $AB$ kenarlarına sırasıyla $T_1$, $T_2$, $T_3$ noktalarında dokunsun. $\ell_1$, $\ell_2$, $\ell_3$ doğruları sırasıyla $H_2H_3$, $H_3H_1$, $H_1H_2$ doğrularının sırasıyla $T_2T_3$, $T_3T_1$, $T_1T_2$ doğrularına göre simetriği olsun.
$\ell_1$, $\ell_2$, $\ell_3$ ün köşeleri $ABC$ üçgeninin içteğet çemberi üzerinde olan bir üçgen belirttiğini kanıtlayınız.