Geomania.Org Forumları

Her $x,y \in \mathbb{R}$ için, $$f\left( \lfloor x\rfloor y\right) = f(x)\left\lfloor f(y)\right\rfloor$$ eşitliğini sağlayan tüm $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ fonksiyonları belirleyiniz. (Burada $ \lfloor z \rfloor$ ile, $z$ yi aşmayan en büyük tam sayıyı gösteriyoruz.)

Bir $ABC$ üçgeninin içteğet çemberinin merkezi $I$ ve çevrel çemberi $\Gamma$ dır. $AI$ doğrusu $\Gamma$ yı ikinci kez $D$ de kesiyor. $$m(\widehat{BAF}) = m(\widehat{CAE}) < \frac 12 m(\widehat{BAC})$$ koşullarını sağlayacak biçimde, $BDC$ yayı üstünde $E$ ve $[BC]$ kenarı üstünde $F$ noktası alınıyor. $[IF]$ doğru parçasının orta noktası $G$ olsun. $DG$ ve $EI$ doğrularının $\Gamma$ ya ait bir noktada kesiştiğini kanıtlayınız.

$\mathbb{Z}^+$ ile pozitif tam sayılar kümesini gösterelim. Her $m,n \in \mathbb{Z}^+$ için, $$\left(g(m)+n \right)\left(m+g(n)\right)$$ sayısının tam kare olmasını sağlayan tüm $g:\mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Z}^+$ fonskiyonlarını belirleyiniz.

$P$, $ABC$ üçgeninin içinde yer alan bir nokta olsun. $AP$, $BP$ ve $CP$ doğruları, $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi $\Gamma$ yı ikinci kez sırasıyla, $K$, $L$ ve $M$ noktalarında kesiyor. $\Gamma$ ya $C$ noktasında teğet olan doğru da, $AB$ doğrusunu $S$ noktasında kesiyor. $|SC|=|SP|$ ise, $|MK|=|ML|$ olduğunu kanıtlayınız.

$B_1, B_2, B_3, B_4, B_5,B_6$ ile gösterilen altı kutunun her birinde başlangıçta birer madenî para bulunuyor. İki tip işleme izin veriliyor:

Tip 1: $1 \leq j \leq 5$ olacak biçimde, boş olmayan bir $B_j$ kutusu seçiyoruz. $B_j$ den bir madenî para çıkarıyoruz ve $B_{j+1}$ e iki madenî para koyuyoruz.
Tip 2: $1 \leq k \leq 4$ olacak biçimde, boş olmayan bir $B_{k+1}$ ile $B_{k+2}$ kutularının içeriklerini birbiriyle değiştiriyoruz.

Sonucunda, $B_1, B_2, B_3, B_4, B_5$ kutularının boş olmasını ve $B_6$ kutusunda da tam olarak $2010^{2010^{20}}$ madenî para olmasını sağlayan sonlu bir işlemler dizisi bulunup bulunmadığını belirleyiniz. (Burada $a^{b^c} = a^{(b^c)}$ dir.)

$a_1,a_2,a_3, \dots$ bir pozitif gerçel sayılar dizisi olsun. Her $n > s$ için, $$a_n = \max \{a_k + a_{n-k} \mid 1 \leq k \leq n-1\}$$ olmasını sağlayan bir $s$ pozitif tam sayısı bulunduğunu varsayalım. $\ell \leq s$  ve her $n \geq N$ için $a_n = a_{\ell} + a_{n-\ell}$ olacak biçimde bir $\ell$ ve $N$ pozitif tam sayılarının bulunduğunu kanıtlayınız.