Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 2009 Çözümleri
1
$n$ pozitif bir tam sayı; $a_1, \dots, a_k$ ($k \geq 2$) de, $\{1,\dots,n\}$ kümesine ait olan ve, her $i=1,\dots, k-1$ için, $n$ sayısının $a_i(a_{i+1}-1)$ sayısını bölmediğini kanıtlayınız.
2
$O$, $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi; $P$ ve $Q$ da, sırasıyla, $[CA]$ ve $[AB]$ kenarları üstünde, köşelerden farklı iki nokta olsun. $K$, $L$ ve $M$ sırasıyla, $[BP]$, $[CQ]$ ve $[PQ]$ doğru parçalarının orta noktaları olmak üzere; $K$, $L$ ve $M$ sırasıyla, $[BP]$, $[CQ]$ ve $[PQ]$ doğru parçalarının orta noktaları olmak üzere; $K$, $L$ ve $M$ den geçen çembere $\Gamma$ diyelim. $PQ$ doğrusu $\Gamma$ çemberine teğet ise, $|OP|=|OQ|$ olduğunu kanıtlayınız.
Çözüm:
$KL$; $AB$ yi $R$ de, $AC$ yi $S$ de kessin.
$\angle KLM = \angle QMK = \angle AQP$ ve $\angle MKL = \angle LMP = \angle APQ$ olduğu için $A.A$ dan $\triangle APQ \sim \triangle MKL$ dir.
$\dfrac{AP}{AQ} = \dfrac{KM}{ML} \Rightarrow AQ \cdot KM = AP \cdot ML \Rightarrow AQ \cdot BQ = AP \cdot CP$
$\Rightarrow OA^2 - OQ^2 = OA^2 - OP^2 \Rightarrow OQ = OP$. $\blacksquare$
3
Pozitif tam sayılardan oluşan ve kesin artan $s_1, s_2, s_3, \dots$ dizisinin $$s_{s_1}, s_{s_2}, s_{s_3}, \dots \text{ ve } s_{s_1+1}, s_{s_2+1}, s_{s_3+1}, \dots$$ altdizilerinin her ikisi de birer artimetik dizi ise, $s_1, s_2, s_3, \dots$ dizisinin kendisinin de bir aritmetik dizi olduğunu kanıtlayınız.
4
$|AB|=|AC|$ olan bir $ABC$ üçgeninde $\widehat{CAB}$ ve $\widehat{ABC}$ açılarının açıortayları $[BC]$ ve $[CA]$ kenarlarını sırasıyla, $D$ ve $E$ noktalarında kesiyor. $K$, $ADC$ üçgeninin içteğet çemberinin merkezi olmak üzere; $m(\widehat{BEK}) = 45^\circ$ ise, $m(\widehat{CAB})$ nin alabileceği tüm değerleri bulunuz.
Çözüm 1:
$BE$ ile $AD$ doğruları $I$ da kesişsin. $I$, $\triangle ABC$ nin içmerkezidir.
$I$ dan $AC$ ye inilen dikmenin ayağı $H$ olsun. $IHCD$ deltoidinde $\angle IHK = \angle IDK = 45^\circ = \angle IEK$ dir.
$E\neq H$ olduğunda $I,H,E,K$ noktaları çembersel, dolayısıyla $\angle IHE = \angle IKE = 90^\circ$ olacaktır. Bu durumda $\angle EIK = 45^\circ$, $\angle IBC = 22,5^\circ$, dolayısıyla $\boxed{\angle BAC = 90^\circ}$ olacaktır.
$E=H$ olduğunda $I$ aynı zamanda diklik merkezi olacağı için $\boxed{\angle BAC = 60^\circ}$ olacaktır.
Çözüm 2:
$\triangle ABC$ nin içmerkezi $I$ olsun. $\angle IBC = \angle ICB = \angle ACI = \alpha$ olacaktır.
$\triangle DIC$ de açıortay teoreminden $$\dfrac{IK}{KC} = \dfrac{ID}{DC} = \tan \alpha \tag{1}$$
$\triangle IEK$ ve $\triangle EKC$ de Sinüs Teoreminden $$\dfrac{IK}{KC} = \dfrac{IK}{KE} \cdot \dfrac{KE}{KC} = \dfrac{\sin 45^\circ}{\sin 2\alpha} \cdot \dfrac{\sin \alpha}{\sin (3\alpha + 45^\circ)} \tag{2}$$
$\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \dfrac{\sin 45^\circ}{\sin 2\alpha} \cdot \dfrac{\sin \alpha}{\sin (3\alpha + 45^\circ)} \Rightarrow \sin 2\alpha \cdot \sin (3\alpha +45^\circ) = \sin 45^\circ \cdot \cos \alpha = \sin 45^\circ \sin (90^\circ - \alpha)$
$\Rightarrow \cos (\alpha + 45^\circ) - \cos (5\alpha + 45^\circ) = \cos (45^\circ - \alpha) - \cos (135^\circ - \alpha) = - \cos (135^\circ + \alpha) + \cos (45^\circ + \alpha)$
$\Rightarrow \cos (5\alpha + 45^\circ) = cos (135^\circ + \alpha)$.
Bu durumda, ya $5\alpha + 45^\circ = 135^\circ + \alpha$ ya da $(5\alpha + 45^\circ) + (135^\circ + \alpha) = 360^\circ$ olacak.
Buradan, $\alpha = 22,5^\circ$ ya da $\alpha = 30^\circ$ elde edilir.
O halde $\angle BAC = 90^\circ$ ya da $\angle BAC = 60^\circ$ dir.
5
Pozitif tamsayılar kümesinden pozitif tamsayılar kümesine tanımlı olan ve tüm $a$ ve $b$ pozitif tamsayıları için, yoz olmayan ve kenar uzunlukları $$a, f(b) \text{ ve } f\left(b+f(a)-1\right)$$ olan bir üçgenin bulunmasını sağlayan bütün $f$ fonksiyonlarını belirleyiniz.
(Yoz üçgen, köşeleri doğrudaş olan üçgendir.)
6
$a_1,a_2,\dots,a_n$ birbirinden farklı pozitif tamsayılar; $M$ de, $n-1$ tane pozitif tam sayıdan oluşan ve $s=a_1+a_2+\dots+a_n$ sayısını içermeyen bir küme olsun. Bir çekirge, gerçel sayı doğrusu üstünde $0$ noktasından başlayarak sağa doğru, uzunlukları kendi seçtiği bir sırada $a_1,a_2,\dots,a_n$ olan $n$ sıçrayış yapacaktır. Çekirgenin sıçrayışlarının uzunluklarının sırasını, hiçbir sıçrayışta $M$ ye ait bir noktaya düşmeyecek biçimde seçebileceğini kanıtlayınız.