1
$n$ pozitif bir tam sayı; $a_1, \dots, a_k$ ($k \geq 2$) de, $\{1,\dots,n\}$ kümesine ait olan ve, her $i=1,\dots, k-1$ için, $n$ sayısının $a_i(a_{i+1}-1)$ sayısını bölmediğini kanıtlayınız.
2
$O$, $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi; $P$ ve $Q$ da, sırasıyla, $[CA]$ ve $[AB]$ kenarları üstünde, köşelerden farklı iki nokta olsun. $K$, $L$ ve $M$ sırasıyla, $[BP]$, $[CQ]$ ve $[PQ]$ doğru parçalarının orta noktaları olmak üzere; $K$, $L$ ve $M$ sırasıyla, $[BP]$, $[CQ]$ ve $[PQ]$ doğru parçalarının orta noktaları olmak üzere; $K$, $L$ ve $M$ den geçen çembere $\Gamma$ diyelim. $PQ$ doğrusu $\Gamma$ çemberine teğet ise, $|OP|=|OQ|$ olduğunu kanıtlayınız.
3
Pozitif tam sayılardan oluşan ve kesin artan $s_1, s_2, s_3, \dots$ dizisinin $$s_{s_1}, s_{s_2}, s_{s_3}, \dots \text{ ve } s_{s_1+1}, s_{s_2+1}, s_{s_3+1}, \dots$$ altdizilerinin her ikisi de birer artimetik dizi ise, $s_1, s_2, s_3, \dots$ dizisinin kendisinin de bir aritmetik dizi olduğunu kanıtlayınız.
4
$|AB|=|AC|$ olan bir $ABC$ üçgeninde $\widehat{CAB}$ ve $\widehat{ABC}$ açılarının açıortayları $[BC]$ ve $[CA]$ kenarlarını sırasıyla, $D$ ve $E$ noktalarında kesiyor. $K$, $ADC$ üçgeninin içteğet çemberinin merkezi olmak üzere; $m(\widehat{BEK}) = 45^\circ$ ise, $m(\widehat{CAB})$ nin alabileceği tüm değerleri bulunuz.
5
Pozitif tamsayılar kümesinden pozitif tamsayılar kümesine tanımlı olan ve tüm $a$ ve $b$ pozitif tamsayıları için, yoz olmayan ve kenar uzunlukları $$a, f(b) \text{ ve } f\left(b+f(a)-1\right)$$ olan bir üçgenin bulunmasını sağlayan bütün $f$ fonksiyonlarını belirleyiniz.
(Yoz üçgen, köşeleri doğrudaş olan üçgendir.)
6
$a_1,a_2,\dots,a_n$ birbirinden farklı pozitif tamsayılar; $M$ de, $n-1$ tane pozitif tam sayıdan oluşan ve $s=a_1+a_2+\dots+a_n$ sayısını içermeyen bir küme olsun. Bir çekirge, gerçel sayı doğrusu üstünde $0$ noktasından başlayarak sağa doğru, uzunlukları kendi seçtiği bir sırada $a_1,a_2,\dots,a_n$ olan $n$ sıçrayış yapacaktır. Çekirgenin sıçrayışlarının uzunluklarının sırasını, hiçbir sıçrayışta $M$ ye ait bir noktaya düşmeyecek biçimde seçebileceğini kanıtlayınız.
|
1