Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 2008
1
Dar açılı $ABC$ üçgeninin diklik merkezi $H$ olsun. Merkezi $BC$ nin orta noktası olup $H$ den geçen çember $BC$ doğrusunu $A_1$ ve $A_2$ noktalarında kesiyor. Benzer şekilde, merkezi $CA$ nin orta noktası olup $H$ den geçen çember $CA$ doğrusunu $B_1$ ve $B_2$ noktalarında ve merkezi $AB$ nin orta noktası olup $H$ den geçen çember $AB$ doğrusunu $C_1$ ve $C_2$ noktalarında kesiyor. $A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2$ noktalarının aynı çember üzerinde bulunduklarını gösteriniz.
2
- Herbiri $1$ den farklı olan ve $xyz = 1$ koşulunu sağlayan tüm $x, y, z$ gerçel sayıları için
$$ \frac{x^2}{(x-1)^2} + \frac{y^2}{(y-1)^2} + \frac{z^2}{(z-1)^2} \geq 1$$
olduğunu kanıtlayınız.
- Herbiri $1$ den farklı olan ve $xyz = 1$ koşulunu sağlayan sonsuz tane $x, y, z$ rasyonel sayı üçlüsü için yukarıdaki eşitsizliğin eşitliğe dönüştüğünü gösteriniz.
3
Sonsuz tane $n$ doğal sayısı için $n^2+1$ sayısının $2n+\sqrt {2n}$ den büyük asal böleninin olduğunu kanıtlayınız.
4
$wx = yz$ olmak üzere, tüm $w, x, y, z$ pozitif gerçel sayıları için $$ \frac{\left( f(w) \right)^2 + \left( f(x) \right)^2}{f\left(y^2\right) + f\left(z^2\right)} = \frac{w^2+x^2}{y^2+z^2} $$ koşulunu sağlayan tüm $f : (0,\infty) \to (0,\infty)$ (diğer deyişle $f$, pozitif gerçel sayılar üzerinde tanımlı ve pozitif değerler alan bir fonksiyondur) fonksiyonlarını bulunuz.
5
$n$ ve $k$ pozitif tam sayı olmak üzere, $k \geq n$ ve $k - n$ çift sayıdır. $1, 2, \dots , 2n$ sayılarıyla numaralandırılmış $2n$ tane lambanın herbiri açık veya kapalı durumda olabiliyor. Başlangıçta lambaların hepsi kapalı durumdadır. Her hamlesinde bir lamba seçilerek, seçilen lambanın durumunu değistiren (açıktan kapalıya veya kapalıdan açığa) hamleler dizileri tanımlayalım.
Sonucunda $1$ den $n$ ye kadar olan lambaları açık ve $n + 1$ den $2n$ ye kadar olan lambaları kapalı duruma getiren ve $k$ hamle içeren tüm hamleler dizilerinin sayısı $N$ olsun.
Sonucunda yine $1$ den $n$ ye kadar olan lambaları açık ve $n + 1$ den $2n$ ye kadar olan lambaları kapalı duruma getiren ve $k$ hamle içeren, fakat $n + 1$ den $2n$ ye kadar olan lambalarla hiç hamle yapmayan tüm hamleler dizilerinin sayısı $M$ olsun.
$N/M$ oranının değerini bulunuz.
6
$|BA| \neq |BC|$ olmak üzere, $ABCD$ bir konveks dörtgen olsun. $ABC$ ve $ADC$ üçgenlerinin içteğet çemberleri sırasıyla $\omega_1$ ve $\omega_2$ olsun. $BA$ ışınınına $A$ dan sonraki bir noktada ve $BC$ ışınınına $C$ den sonraki bir noktada teğet olan ve aynı zamanda $AD$ ve $CD$ doğrularına da teğet olan bir $\omega$ çemberinin olduğunu varsayalım. $\omega_1$ ve $\omega_2$ çemberlerinin ortak dış teğetlerinin $\omega$ çemberi üzerinde kesiştigini kanıtlayınız.