Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 2007 Çözümleri
« 2006 2008 »
« Sorulara Git
Geri

Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 2007 Çözümleri

1
$a_1,a_2,\dots,a_n$ gerçel sayıları verilmiş olsun. Her $i$ ($1 \leq i \leq n$) için, $$d_i = \max\{a_j : 1 \leq j \leq i \} - \min \{a_j : i \leq j \leq n\} $$ olarak tanımlayalım ve $$d = \max\{d_i : 1 \leq i \leq n\}$$ olsun.

2
$A$, $B$, $C$, $D$ ve $E$ den oluşan beş nokta, $ABCD$ bir paralelkenar ve $BCED$ konveks bir kirişler dörtgeni olacak biçimde verilmiş olsun. $A$ dan geçen bir $\ell$ doğrusu, $[DC]$ doğru parçasını bir $F$ iç noktasında ve $BC$ doğrusunu da bir $G$ noktasında kessin. $|EF|=|EG|=|EC|$ olduğunu varsayalım. $\ell$ nin,  $\widehat{DAB}$ açısının açı ortayı olduğunu kanıtlayınız.
Çözüm:

$AC \cap BD = \left \{N \right \} $ ve $E$ den $[CG]$ ve $[CF]$ ye çizilen dikme ayakları sırasıyla $K$ ve $M$ olsun. $K,M,N$ noktaları sırasıyla $[CG] , [CF] , [CA]$ doğru parçalarının orta noktalarıdır.$G-F-A$ doğrusal noktalar olduğundan, $K-M-N$ noktaları da doğrusaldır.

$E$ noktası $BDC$ üçgeninin çevrel çemberi üzerinde $EK \perp BC$ , $EM \perp DC$ olduğundan $KM$, $BDC$ üçgenine ait simson-wallace doğrusudur.Buna göre $EN \perp BD$ olacaktır. Ayrıca $|BN|=|ND|$ olduğundan $|EB|=|ED|$ dir.

Bu sonuç $BCED$ kirişler dörtgeni olduğundan $\angle{FCE}=\angle{GCE}$ demektir. Buna göre $|CF|=|CG|$ olup $\angle{BAG}=\angle{DAG}$ dir. 
3
Bir matematik yarışmasına katılan yarışmacılardan bazıları arkadaştır. Arkadaşlık her zaman karşılıklıdır. Bir yarışmacı grubundaki her yarışmacı çifti arkadaşsa, bu gruba bir klik diyelim. (Özellikle, ikiden az yarışmacıdan oluşan her grup bir kliktir.) Bir kliğin eleman sayısına bu kliğin büyüklüğü diyelim.

Bu yarışmadaki kliklerin büyüklüklerinin aldığı en büyük değer bir çift sayı olsun. Tüm yarışmacıların, bir odadaki kliklerin büyüklüklerinin en büyük değeri, diğer odadaki kliklerin büyüklüklerinin en büyük değerine eşit olacak biçimde iki odaya yerleştirilebileceğini kanıtlayınız.
4
Bir $ABC$ üçgeninde, $\widehat{BCA}$ açısının açı ortayı, üçgenin çevrel çemberini ikinci kez $R$ de, $[BC]$ nin orta dikmesini $P$ de ve $[AC]$ nin orta dikmesini de $Q$ da kesiyor. $[BC]$ nin orta noktası $K$ ve $[AC]$ nin orta noktası $L$ olsun. $RPK$ ve $RQL$ üçgenlerinin alanlarının eşit olduğunu kanıtlayınız.
Çözüm:
$ARBC$ kirişler dörtgeninde $\angle{ACR}=\angle{BCR}=\alpha$ olduğundan, $AR=BR$  ve  $\angle{BAR}=\angle{ABR}=\alpha$ olur.


$[QL]$ ve $[PK]$ kenar orta dikmeler olduğundan, $\angle{QAC}=\angle{QCA}=\angle{BCP}=\angle{PBC}=\alpha$ dır.

$\triangle{QAR}$ ve $\triangle{PBR}$ üçgenlerinde sırasıyla $\angle{QAR}=\angle{BAC}$ ve $\angle{PBR}=\angle{ABC}$ dir.

Buraya kadar bulunanlar ile $\triangle{ABC}\sim \triangle{ARQ} \sim \triangle{RBP}$ ve $\triangle{ABR}\sim \triangle{BCP} \sim \triangle{CAQ}$ benzerlikleri görülebilir.

Sırasıyla bu benzerliklerin sağladığı orantıları yazalım.

$$\triangle{ARQ} \sim \triangle{RBP} \Rightarrow \dfrac{PR}{PB}=\dfrac{QR}{QA} \tag{1}$$

bulunur.Diğer taraftan $$\triangle{BCP} \sim \triangle{ACQ} \Rightarrow \dfrac{QA}{PB}=\dfrac{QL}{PK} \tag{2}$$

olup, $(1)$ ve $(2)$ den,

$$QL \cdot QR = PK \cdot PR \tag{3}$$

olur ve $\angle{LQR}=\angle{KPR}$ olduğundan $(3)$'den dolayı $[QLR]=[PKR]$ dir.
5
$a$ ve $b$ pozitif tam sayılar olsun. $4ab - 1$, $(4a^2 - 1)^2$ yi bölüyorsa, $a = b$ olduğunu kanıtlayınız.
6
$n$ pozitif bir tam sayı olsun. Üç boyutlu uzayda $(n + 1)^3 - 1$ noktadan oluşan $$S = \{(x, y, z): x, y, z \in \{0, 1,\dots,n\},x + y + z> 0 \}$$ kümesi veriliyor. Birleşimleri $S$ kümesini kapsayan, ama $(0, 0, 0)$ noktasını içermeyen düzlemlerin sayısının alabileceği en küçük değeri belirleyiniz.