Geomania.Org Forumları

$a_1,a_2,\dots,a_n$ gerçel sayıları verilmiş olsun. Her $i$ ($1 \leq i \leq n$) için, $$d_i = \max\{a_j : 1 \leq j \leq i \} - \min \{a_j : i \leq j \leq n\} $$ olarak tanımlayalım ve $$d = \max\{d_i : 1 \leq i \leq n\}$$ olsun.

• Tüm $x_1 \leq x_2 \leq \dots \leq x_n$ gerçel sayıları için, \begin{equation} \max\{|x_i - a_i| : 1 \leq i \leq n\} \geq \frac d2 \tag{*} \end{equation} olduğunu kanıtlayınız.
  
• $(*)$ da eşitliğin gerçekleşmesini sağlayan $x_1 \leq x_2 \leq \cdots \leq x_n$ gerçel sayılarının bulunduğunu gösteriniz.

$A$, $B$, $C$, $D$ ve $E$ den oluşan beş nokta, $ABCD$ bir paralelkenar ve $BCED$ konveks bir kirişler dörtgeni olacak biçimde verilmiş olsun. $A$ dan geçen bir $\ell$ doğrusu, $[DC]$ doğru parçasını bir $F$ iç noktasında ve $BC$ doğrusunu da bir $G$ noktasında kessin. $|EF|=|EG|=|EC|$ olduğunu varsayalım. $\ell$ nin,  $\widehat{DAB}$ açısının açı ortayı olduğunu kanıtlayınız.

Bir matematik yarışmasına katılan yarışmacılardan bazıları arkadaştır. Arkadaşlık her zaman karşılıklıdır. Bir yarışmacı grubundaki her yarışmacı çifti arkadaşsa, bu gruba bir klik diyelim. (Özellikle, ikiden az yarışmacıdan oluşan her grup bir kliktir.) Bir kliğin eleman sayısına bu kliğin büyüklüğü diyelim.

Bu yarışmadaki kliklerin büyüklüklerinin aldığı en büyük değer bir çift sayı olsun. Tüm yarışmacıların, bir odadaki kliklerin büyüklüklerinin en büyük değeri, diğer odadaki kliklerin büyüklüklerinin en büyük değerine eşit olacak biçimde iki odaya yerleştirilebileceğini kanıtlayınız.

Bir $ABC$ üçgeninde, $\widehat{BCA}$ açısının açı ortayı, üçgenin çevrel çemberini ikinci kez $R$ de, $[BC]$ nin orta dikmesini $P$ de ve $[AC]$ nin orta dikmesini de $Q$ da kesiyor. $[BC]$ nin orta noktası $K$ ve $[AC]$ nin orta noktası $L$ olsun. $RPK$ ve $RQL$ üçgenlerinin alanlarının eşit olduğunu kanıtlayınız.

$a$ ve $b$ pozitif tam sayılar olsun. $4ab - 1$, $(4a^2 - 1)^2$ yi bölüyorsa, $a = b$ olduğunu kanıtlayınız.

$n$ pozitif bir tam sayı olsun. Üç boyutlu uzayda $(n + 1)^3 - 1$ noktadan oluşan $$S = \{(x, y, z): x, y, z \in \{0, 1,\dots,n\},x + y + z> 0 \}$$ kümesi veriliyor. Birleşimleri $S$ kümesini kapsayan, ama $(0, 0, 0)$ noktasını içermeyen düzlemlerin sayısının alabileceği en küçük değeri belirleyiniz.