$n$  pozitif bir reel sayı olsun. Kenarları $a, b, c$ olan ve $c^n=a^n+b^n$ şartını sağlayan üçgenleri sınıflandırınız.

Üçgende Kesenin Kenarlarla Yaptığı Açı Üzerine konusunda anlatılan $(k_3 = 1, N=4)$ problemine ait çözümleri doğrudan ya da dolaylı olarak (ilgili konuya link vererek) bu başlık altında toplayacağız.
Öncelikle, soruyu hatırlatmak gerekirse;

$ABC$ üçgeninin $BC$ kenarı üzerinde $AD:BC=1$ olacak şekilde $D$ noktası alınıyor. $\angle ABC = b = 100^\circ$, $\angle ACB = c = 30^\circ$, $\angle BAC = a = 50^\circ$, $\angle ADC = d = 140^\circ $, $\angle BAD = a_1 = 40^\circ$, $\angle CAD = a_2 = 10^\circ$ açıları verilen şartı sağlamakta. Bunlardan herhangi ikisi verildiğinde diğerlerinin bulunmasının sorulduğu sorular aşağıdaki tabloda verilmiştir.

$$
\begin{array}{l|l|l||l|}
k & N & \textbf{Soru} & \textbf{Cevap} \\
\hline
k_3 = 1
& 4.0 & (b=100^\circ, c=30^\circ, d=140^\circ) & k_3 = 1 \\
& 4.1 & (k_3 = 1, b=100^\circ, c = 30^\circ)  & a_1 = 40^\circ \\
& 4.2 & (k_3 = 1, a=50^\circ, d = 140^\circ)  & a_1 = 40^\circ \\
& 4.3 & (k_3 = 1, b=100^\circ, a_1 = 40^\circ)  & a_2 = 10^\circ \\
& 4.4 & (k_3 = 1, b=100^\circ, a_2 = 10^\circ)  & a_1 = 40^\circ \\
& 4.5 & (k_3 = 1, c=30^\circ, a_1 = 40^\circ)  & a_2 = 10^\circ  \\
& 4.6 & (k_3 = 1, c=30^\circ, a_2 = 10^\circ)  & a_1 = 40^\circ  \\
& 4.7^* & (k_3 = 1, a_1=40^\circ , a_2 = 10^\circ)  & b = 100^\circ \text{ veya } b = ? \\

\end{array}
$$

İlgili soruların forumda işlendiği başlıklar:

4.0
4.3

Üçgende Kesenin Kenarlarla Yaptığı Açı Üzerine konusunda anlatılan $(k_2 = 1, N=8)$ problemine ait çözümleri doğrudan ya da dolaylı olarak (ilgili konuya link vererek) bu başlık altında toplayacağız.
Öncelikle, soruyu hatırlatmak gerekirse;

$ABC$ üçgeninin $BC$ kenarı üzerinde $AB:DC=1$ olacak şekilde $D$ noktası alınıyor. $\angle ABC = b = 24^\circ$, $\angle ACB = c = 54^\circ$, $\angle BAC = a = 102^\circ$, $\angle ADC = d = 30^\circ$, $\angle BAD = a_1 = 6^\circ$, $\angle CAD = a_2 = 96^\circ$ açıları verilen şartı sağlamakta. Bunlardan herhangi ikisi verildiğinde diğerlerinin bulunmasının sorulduğu sorular aşağıdaki tabloda verilmiştir.

$$
\begin{array}{|l||l||l||l|}
k & N & \textbf{Soru} & \textbf{Cevap} \\
\hline
k_2=1 & 8.0 & (b=24^\circ, c=54^\circ, d=30^\circ) & k_2=1 \\
k_2=1 & 8.1 & (k_2=1, b=24^\circ, c=54^\circ) & a_1=6^\circ \\
k_2=1 & 8.2 & (k_2=1, a=102^\circ, d=30^\circ) & a_1=6^\circ \\
k_2=1 & 8.3 & (k_2=1, b=24^\circ, a_1=6^\circ) & a_2=96^\circ \\
k_2=1 & 8.4 & (k_2=1, b=24^\circ, a_2=96^\circ) & a_1=6^\circ \text{ veya } a_1 = 30^\circ \\
k_2=1 & 8.5 & (k_2=1, c=54^\circ, a_1=6^\circ) & a_2=96^\circ \text{ veya } a_2 = ? \\
k_2=1 & 8.6 & (k_2=1, c=54^\circ, a_2=96^\circ) & a_1=6^\circ \\
k_2=1 & 8.7 & (k_2=1, a_1=6^\circ, a_2=96^\circ) & b=24^\circ \\
\end{array}
$$

$(k_2 = 1, N=8)$ ile $(k_2 = 1, N=7)$ kardeş ailelerdir.
Bu nedenle, bazı soru tipleri birbirine kolayca dönüştürülebilir. ($[BC$ uzantısı üzerinde $AB=AE$ olacak şekilde $E$ noktası alarak)

$(k_2 = 1, N=8.0) \sim (k_2 = 1, N=7.0)$
$(k_2 = 1, N=8.1) \sim (k_2 = 1, N=7.3)$
$(k_2 = 1, N=8.3) \sim (k_2 = 1, N=7.1)$
$(k_2 = 1, N=8.4) \equiv (k_2 = 1, N=7.4)$
$(k_2 = 1, N=8.6) \sim (k_2 = 1, N=7.6)$

İlgili soruların çözümleri:

8.0 $\sim$ 7.0
8.1 $\sim$ 7.3
8.3 $\sim$ 7.1
8.4 $\equiv$ 7.4
8.6 $\sim$ 7.6

Üçgende Kesenin Kenarlarla Yaptığı Açı Üzerine konusunda anlatılan $(k_2=1/3, N=1)$ problemine ait çözümleri doğrudan ya da dolaylı olarak (ilgili konuya link vererek) bu başlık altında toplayacağız.
Öncelikle, soruyu hatırlatmak gerekirse;

$ABC$ üçgeninin $BC$ kenarı üzerinde $AB:DC=1/3$ olacak şekilde $D$ noktası alınıyor. $\angle ABC = b = 60^\circ$, $\angle ACB = c = 15^\circ$, $\angle BAC = a = 105^\circ$, $\angle ADC = d = 105^\circ$, $\angle BAD = a_1 = 45^\circ$, $\angle CAD = a_2 = 60^\circ$ açıları verilen şartı sağlamakta. Bunlardan herhangi ikisi verildiğinde diğerlerinin bulunmasının sorulduğu sorular aşağıdaki tabloda verilmiştir.

$$
\begin{array}{l|l|l||l|}
k & N & \textbf{Soru} & \textbf{Cevap} \\
\hline
k_2=1/3 & 1.0 & (b=60^\circ, c=15^\circ, d=105^\circ) & k_2=1/3 \\
& 1.1 & (k_2=1/3, b=60^\circ, c=15^\circ) & a_1=45^\circ \\
& 1.2 & (k_2=1/3, a=105^\circ, d=105^\circ) & a_1=45^\circ \\
& 1.3 & (k_2=1/3, b=60^\circ, a_1=45^\circ) & a_2=60^\circ \\
& 1.4 & (k_2=1/3, b=60^\circ, a_2=60^\circ) & a_1=45^\circ \\
& 1.5 & (k_2=1/3, c=15^\circ, a_1=45^\circ) & a_2=60^\circ \text { veya } a_2 = ? \\
& 1.6 & (k_2=1/3, c=15^\circ, a_2=60^\circ) & a_1=45^\circ \\
& 1.7 & (k_2=1/3, a_1=45^\circ, a_2=60^\circ) & b=60^\circ \\

\end{array}
$$

İlgili soruların forumda işlendiği başlıklar:

1.0
1.1
1.3
1.4
1.6

Bir ABC üçgeninin içinden alınan P noktasının köşelerle yaptığı açılar şu şekildedir. m(PAC)=30°, m(PCA)=20°, m(PBA)=10°, m(PBC)=20°. Buna göre
m(PAB)=?

$ABC$  üçgeninde $M$  noktası $BC$  kenarının orta noktası olmak üzere $(ABM)$  çevrel çemberi $AC$  'yi $P$  noktasında kessin. $(BPC)$  çevrel çemberi $AB$  doğrusuna teğet olsun. $BP$  doğrusu $(ABC)$ 'yi ikinci kez $E$  noktasında kesiyorsa $BE:BP$  oranını bulunuz.

Problem 13. $ABC$  üçgeninde $H$  diklik merkezi, $O$  ise çevrel çember merkezi, $AD$  ise üçgenin bir yüksekliğidir. $X$  noktası $BHC$  üçgeninin çevrel çember merkezi olsun. $AO=25$,  $AH=20$  ve $BD.CD=300$  ise $AX$  kaçtır?

$AB$ çaplı çember dar açılı $ABC$ üçgeninin $BC$ kenarını $D$ de, $CA$ kenarını $E$ de kesiyor. $BE$ ile $AD$, $F$ de kesişsin. $[CF$ ışını, $AB$ çaplı çemberi önce $K$ de, sonra $L$ de kessin. $CK=3$, $FL=10$ ise $KF$ nedir?

$ABC$ dik üçgeninde hipotenüse ait yükseklik $AH$ dir. $ABC$, $ABH$, $ACH$ üçgenlerinin iç teğet çemberlerinin merkezi sırasıyla $I, J, K$ dir. $AJ=8\sqrt 2$, $AK=12$ ise $AI$ nedir?

Aşağıdaki teorem Fransız matematikçi Pierre-Léon Anne (1806–1850) tarafından bulunmuştur.


Anne Teoremi'nin 1. Kısmı: $ABCD$ dışbükey dörtgeninde köşegenlerin orta noktaları $L$ ve $K$ olsun. $LK$ doğrusu üzerinden ve dörtgenin içinde kalacak şekilde keyfi bir $P$ noktası için,
$$ \text{Alan}(ABP) + \text{Alan}(CDP) = \text{Alan}(BCP) + \text{Alan}(DAP) $$
eşitliği geçerlidir.

Problem 2.
$ABC$  üçgeninde $O$  ve $H$  sırasıyla çevrel çember ve diklik merkezi olsun. $AD$, $BE$  ve $CF$  üçgenin yükseklikleri olsun. $A$  noktasının $EF$ 'ye göre simetriği $A'$  ise $HOA'D$  dörtgeni çemberseldir, gösteriniz.

$ABC$  üçgeninde $O$  ve $H$  çevrel merkez ve diklik merkezi olmak üzere $AH$ ın orta dikmesi $AB$  ve $AC$  kenarlarını sırasıyla $D$  ve $E$  noktalarında kessin. $\angle ADE=\angle BDO$ olduğunu gösteriniz.

$ABCD$ çeşitkenar kirişler dörtgeninde $m(\widehat{ABC})=60^\circ$, $|AD|=21$, $|CD|=35$ ve $|BD|=|AD|+|CD|$ dir. Buna göre kirişler dörtgeninin çevresi nedir?

Merhaba arkadaşlar.

Bir süredir üzerinde çalıştığım küçük bir geometri çalışmasını tamamladım ve sizlerle paylaşmak istedim.
Çalışmanın çıkış noktası oldukça basit: Bir ABC üçgeninin içinde alınan bir P noktasıyla oluşan tek bir temel şekilden hareketle, iki açıyı gizleyerek oluşturulabilecek toplam **15 farklı problem** ele alındı.
İlk bakışta bu sorular birbirine çok benziyor gibi görünse de, soruların büyük kısmı tamamen farklı yardımcı çizimler ve farklı sentetik fikirler gerektiriyor.
Bu çalışmanın amacı yalnızca 15 sorunun cevabını vermek değil; benzer görünen geometri problemlerinin aslında ne kadar farklı düşünme biçimleri gerektirebildiğini göstermek.
Elbette verilen çözümler tek çözüm olmak zorunda değil. Farklı sentetik çözümler veya daha kısa ispatlar bulunabileceğini düşünüyorum. Bu nedenle görüş ve eleştirilerinizi memnuniyetle dinlemek isterim.

Umarım geometriyle ilgilenen arkadaşlara faydalı olur. İyi çalışmalar dilerim.

Çembersel bir $ABCDEF$ altıgeninde $AB$ ve $CF$ paraleldir. $AD,BE,CF$ köşegenleri bir $S$ noktasında kesişmektedir, $DE$ ve $CF$ doğruları ise bir $M$ noktasında kesişiyor. $S$ noktasının $M$ noktasına göre yansıması $N$ olsun. $ADF$ üçgeninin çevrel çemberinin, $CF$ nin orta noktasından geçtiğini gösteriniz.

Bir $ABC$ üçgeni verilmiş olsun. $I$ merkezli bir $\omega$ çemberi $AB,AC$ ye teğet olsun ve $BC$ doğrusunu $X$ ve $Y$ noktalarında kessin. $I$ dan geçen ve $BC$ ye teğet olan doğru, $A$ dan geçen ve $BC$ ye paralel olan doğruyu $Z$ noktasında kessin. $\triangle{XYZ}$ ve $\triangle{ABC}$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin birbirine teğet olduğunu gösteriniz.

$ABC$ bir dik üçgen ve $[AH]$ hipotenüse ait yükseklik olmak üzere; $ABH$ üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi $I$, $ACH$ üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi $J$ dir.
$m(\widehat{ IAJ})=x^\circ$, $m(\widehat{ JIA})=y^\circ$, $m(\widehat{ AJI})=z^\circ$ ise kaç farklı $(x,y,z)$ sıralı tam sayı üçlüsü vardır?

$
\textbf{a)}\ 44
\qquad\textbf{b)}\ 89
\qquad\textbf{c)}\ 134
\qquad\textbf{d)}\ 135
\qquad\textbf{e)}\ 8010
$

$ABC$ dik üçgeninde $AH$ hipotenüse ait yükseklik olsun. $ABH$ üçgeninin iç teğet çemberi $AB$ ye $D$ de, $ACH$ üçgeninin iç teğet çemberi $AC$ ye $E$ de dokunsun. $AD$ doğru parçası üzerinde $F$ ve $AE$ doğru parçası üzerinde $G$ noktası $DF = FG = GE$ olacak şekilde alınsın. $B, F, G, C$ noktalarının çembersel olduğunu gösteriniz.

Bir geometri test kitabında çözdüğüm hoş ve basit bir soruyu paylaşmak istiyorum.

$ABC$  eşkenar üçgeninin $BC$  kenarı üzerinde alınan $D$  noktası için $BD=2$  ve $\angle BAD=15^{\circ}$  olsun. $AC$  kenarı üzerinde ise $CE=4$  olacak şekilde alınan bir $E$  noktası için, $\angle EDC$  kaçtır?

$ABC$ eşkenar üçgeninin iç teğet çemberi üzerinde $\angle APC = 120^\circ$ olacak şekilde bir $P$ noktası alınıyor. $BC=4$ ise $BP$ nedir?

$ABC$ eşkenar üçgen ($A$, $B$, $C$ sırasıyla saat yönünde) ve $P$ bu üçgenin iç teğet çemberi üzerinde bir nokta olsun. $P$ nin $B$ nin etrafında saat yönünde $60^\circ$ döndürülmesiyle $P'$ noktası elde ediliyor. $\dfrac {\text{Alan}(\triangle ABC)}{\text{Alan}(\triangle APP')} = 4$ olduğunu gösteriniz.

Soru [Rachid Iksi]: $\angle B = 60^\circ$ olan $ABC$ üçgeninin 1. Fermat noktası $F$, ağırlık merkezi $G$ olsun. $$3|FG| = \left| |AB| - |BC| \right|$$
olduğunu isptlayınız.

Bir ABC üçgeninde içinde alınan P noktası için.

∠ABP=10°
∠PAC=10°
∠ACP=10°
∠BCP=100° olarak verilmiştir

Buna göre x=∠PBC kaç derecedir?

(Trigonometrik çözümü yapılabilir.Sentetik çözümünü forumda biraz aradım, ama galiba daha önce çözülmemiş.)

$ABC$  üçgeninde $O$  ve $H$  sırasıyla çevrel çember ve diklik merkezidir. $C$ 'den $AB$  kenarına inilen dikme ayağı $F$  olsun. $OF$  doğrusuna $F$  noktasında dik olan doğru $AC$  yi $P$  de kesiyorsa $\angle FHP=\angle BAC$ olduğunu gösteriniz.

$AB<AC$  olan $ABC$  üçgeninin iç teğet çemberi $AB$  ve $BC$  ye sırasıyla $M$  ve $J$  doğrularında değmektedir. $D$  noktası $AB$  doğrusunun $B$  uzantısında $AD=AC$  olacak şekilde alınsın. $O$  noktası $CD$  nin orta noktası ise, $J-O-M$  doğrusallığını gösteriniz.

$\Gamma$,  $ABC$  üçgeninin çevrel çemberi olmak üzere $l$ doğrusu,  $\Gamma$'ya $A$  noktasında teğet olan doğru olsun. $D$  ve $E$, sırasıyla $AB$  ve $AC$  kenarları üzerinde $\dfrac{BD}{DA}=\dfrac{AE}{EC}$ olacak şekilde alınsın. $DE$  doğrusu $\Gamma$'yı $F$  ve $G$  noktalarında kessin. $D$  noktasından geçip $AC$  ye paralel olan doğru $l$ doğrusunu $H$  noktasında, $E$  noktasından geçip $AB$  ye paralel olan doğru ise $l$ doğrusunu $I$  noktasında kesmektedir. Buna göre $F$, $G$, $H$  ve $I$  noktalarının çembersel olduğunu ve bu çemberin $BC$  ye teğet olduğunu gösteriniz.

$ABCD$  karesinin $CD$  kenarı üzerinde bir  $E$  noktasi alınsın. $F\in AE$  ve $G\in BE$  noktaları ise $AE\perp BF$  ve $AG\perp BE$  olacak şekilde alınsın. Buna göre $H=DF\cap CG$  ise
$$\angle DFC+\angle DGC=90^{\circ}+\angle AHD+\angle BHC$$
eşitliği sağlanır, gösteriniz.

Kenarları tam sayı olan $ABC$ üçgeninde $[AB]$ üzerinde $D$, $[AC]$ üzerinde $E$ noktası $DE$ iç teğet çembere teğet olacak şekilde alınıyor.
$|AD|=5$, $|AE|=6$, $|DE|=7$ ise $|BC|$ nin alabileceği kaç farklı değer vardır?

$ABC$ üçgeninde $|AB|=9$, $|AC|=8$ olup, $[AB]$ üzerindeki $D$ ve  $[AC]$ üzerindeki $E$ noktası için $|BD|=|DE|=|EC|$ dir. $[DE]$ nın orta noktası $M$ olmak üzere; $AMD$ ve $AME$  üçgenlerinin iç teğet çemberlerinin merkezleri sırasıyla $I$ ve $J$ dir. $S=\text{Alan}(ABI)=\text{Alan}(ACJ)$ ise $S$ kaçtır?

Kiev Olimpiyatı, bizim Antalya Olimpiyatına benzediğinden olimpiyattan birkaç problemi paylaşmak istedim.

Problem 11.3: $ABC$  üçgeninde çevrel çemberin $AD$  çapı $BC$  kenarını $K$  noktasında kesiyor. $L$  noktası, $D$  noktasının $K$ 'ya nazaran simetriği olsun. $AB$  doğrusu üzerinde $FL\perp AC$  olacak şekilde bir $F$  noktası alınıyor. Buna göre $FK\perp AD$  olduğunu gösteriniz.

$P$, $ABC$ üçgeni içinde bir noktadır.

\[
\angle BAP = 20^\circ,\qquad
\angle PAC = 10^\circ,\qquad
\angle PBA = 30^\circ,\qquad
\angle PCA = 40^\circ.
\]

Buna göre, $\angle PBC$ kaç derecedir?

$ABC$ üçgeninin içinde bir $P$ noktası alınsın. $\angle BAP=12^\circ$, $\angle PAC=15^\circ$, $\angle ACP=39^\circ$ ve $\angle PCB=63^\circ$ olduğuna göre, $\angle CBP$ açısının ölçüsünü bulunuz.

Problem [Metin Aydemir]: Hayali bir ülkenin haritası eşkenar bir üçgen şeklindedir ve bu eşkenar üçgenin tam merkezinde kralın sarayı bulunmaktadır. Kralın sarayı ile üçgenin köşeleri birleştirildiğinde oluşan üç üçgen, ülkenin üç şehrini oluşturur. Kral, ülkede çıkan yangınlara hızlı müdahale edilebilmesi için her şehre birer yangın istasyonu kurmak istemektedir. Ancak, bir şehrin sınırları içindeki bir noktaya başka bir şehrin istasyonunun daha yakın olmasının şehirler arası iletişim problemi çıkaracağını düşündüğünden, istasyonları şu koşulu sağlayacak şekilde yerleştirmek ister: Her şehrin içindeki herhangi bir noktaya kuş uçuşu (doğrusal) uzaklık bakımından en yakın istasyon, o şehrin istasyonu olsun (başka bir istasyona eşit uzaklıkta olması mümkündür). Kralın bu üç yangın istasyonunu kurabileceği yerler nerelerdir?

Bir AIME denemesinde gördüğüm hoş bir problem. İspata dayalı bir hale de getirilebilir diye düşünüyorum

$ABCD$  paralelkenarında merkezi $O$  olan $(BCD)$  çevrel çemberi $AB$  ve $AD$  kenarlarını sırasıyla $E$  ve $F$  noktalarında kessin. $AO$  ve $BD$  doğru parçalarının orta noktaları sırasıyla $P$  ve $Q$  noktaları olsun. $PQ=3$  ve $A$  dan $BD$  ye inilen dikmenin uzunluğu $7$  ise $BF\cdot DE$  ifadesini belirleyiniz.

Problem [Lokman Gökçe]: $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üzerinden keyfi bir $D$ noktası alınıyor. $F$ noktası $AC$ doğrusu üzerinde olup $EF \parallel BC$ ve  $FG \parallel AD$ olacak şekilde keyfi bir $EFGH$ paralelkenarı çiziliyor. Bu durumda $BH$, $CG$, $AD$ doğruları aynı noktadan geçer.

Dar açılı bir $ABC$  üçgeninde $O$  çevrel merkez ve $BQ$  bir yükseklik olsun. $Q$  noktasından geçen ve $OC$ 'ye paralel olan doğru $BO$  doğrusunu $X$  noktasında kesiyor. $AB$  ve $AC$  kenarlarının orta noktaları sırasıyla $M_C$  ve $M_B$  ise $X$, $M_B$  ve $M_C$  noktaları doğrudaştır, gösteriniz.

$\angle BAC=120^\circ$ olan $ABC$ üçgeninde, iç açıortayların $BC,CA,AB$ üzerindeki ayakları sırasıyla $D,E,F$ olsun. $\angle EDF=90^\circ$ olduğunu gösteriniz.

Şöyle güzel bir problem keşfettim. Eğer daha önce bulunmuş ise kusurumuz affola 


Problem (Lokman Gökçe): $ABCD$ bir tam dörtgen ve $AB \cap CD = E$, $AD \cap BC = F$ olsun. $[AC], [BD], [EB], [EA], [FD], [FC]$ doğru parçalarının orta noktaları sırasıyla $M, N, P_1, P_2, Q_1,  Q_2$'dir. $[P_1Q_1], [P_2Q_2]$ doğru parçalarının orta noktaları sırasıyla $H, J$'dir. Buna göre, $|MN| = 2|HJ|$ olduğunu ispatlayınız.

$ABCD$ teğetler dörtgeninde $m(\widehat A)=m(\widehat B)=120^\circ$, $|AB|=4$ ve $|BC|=5$ ise $\text{Çevre}(ABCD)$ nedir?

$ABC$  üçgeninin çevrel çemberine $B,C$  noktalarında teğet doğrular $E$  noktasında kesişiyor. $BC$  doğrusu üzerinde $[BC]$  üstünde olmayan bir $F$  noktası için, $EF$  doğru parçasının orta noktası $G$  olsun.  $GB\cap (ABC)=I$  ve $GC\cap (ABC)=H$  olsun. $M$  noktası $BC$  kenarının orta noktası ise. $F,G,I,H,M$  noktaları çemberseldir, gösteriniz.

Dar açılı $ABC$  üçgeninde $H$  diklik merkezi, $CF$  ise üçgenin yüksekliği olsun. $P$  noktası ise $H$  diklik merkezinin $BC$  ye göre simetriği olsun. $(AFP)$  çevrel çemberi $BC$  doğrusunu $X$  ve $Y$  de kesiyorsa $XC=CY$  olduğunu gösteriniz.

Dar açılı $ABC$  üçgeninin çevrel çemberi $\omega$  dır. $H$  diklik merkezi, $M$  ve $N$  sırasıyla $AB$  ve $AC$  kenarlarının orta noktaları olsun. $[MH$  ve $[NH$  ışınları, $\omega$  yı sırasıyla $P$  ve $Q$  da kessin. $R=MN\cap PQ$  ise $RA$  doğrusunun $\omega$  ya teğet olduğunu gösteriniz.

Verilen bir yamuğu,

• iki tabanından da geçen bir doğru ile
• iki yanal kenarından da geçen bir doğru ile

pergel ve cetvel kullanarak alanca eşit iki yamuğa ayırın.

$ABC$ üçgeninde $[BC]$ üzerindeki $D$ noktası için $AD\perp BC$, $|CD|=1$, $|BD|=x$, $|AD|=\dfrac {x}{\sqrt{1-2x}}$ ve $\angle BAD = 37^\circ$ ise $\angle ACB$ kaç derecedir?

$\textbf{a)}\ 15  \qquad\textbf{b)}\ 16  \qquad\textbf{c)}\ 18  \qquad\textbf{d)}\ 18,5  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

2023 yılının Balkan MO Shortlist'inden bir problemle uğraşıyordum. Diklik merkezi konfigürasyonu üzerine kuruluydu. Problemin ispatında yararlı bir özellik fark ettim. Burada da paylaşmış olayım.


Problem:
$ABC$  üçgeninde $H$  diklik merkezi ve $D$, $E$  ve $F$  noktaları ise sırasıyla $A$, $B$  ve $C$  köşelerinden inilen dikme ayaklarıdır. $P$ ve $Q$  noktaları, sırasıyla $(BDH)$  ve $(CDH)$  çevrel çemberleri ile $(ABC)$  çevrel çemberinin kesişim noktalarıdır. $PH$  doğrusu $AC$  yi $R$  de, $QH$  doğrusu ise $AB$  yi $S$  noktasında kestiğine göre $P$, $Q$, $R$  ve $S$  noktaları çemberseldir, gösteriniz.

$ABC$ üçgeninin $BC, CA, AB$ kenarları üzerinde sırasıyla $D,E,F$ noktaları $BD=20$, $DC=15$, $CE=13$, $EA=8$, $AF=6$, $FB=22$ olacak şekilde alınıyor. $\angle EDF$ kaç derecedir?

$ABC$ bir eşkenar üçgen ve $BC$ nin orta noktası $M$ dir. $[BM]$, $[AM]$, $[AB]$ üzerinde sırasıyla $D, E, F$ noktaları $\triangle DEF$ eşkenar olacak şekilde alınıyor. $BF/AF=2/3$ ise $\dfrac{\text{Alan}(DEF)}{\text{Alan}(ABC)}$ nedir?

Tepe açısı $m(\widehat A)=40^\circ$ olan $ABC$ ikizkenar üçgeninde iç teğet çember $BC$ ye $M$ de, $AB$ ye $T$ de dokunmaktadır. $C$ den $AB$ ye inilen yüksekliğin ayağı $H$ ve $H$ nin $T$ ye göre simetriği $N$ olsun. $N$ den geçen ve $BC$ ye paralel olan doğrunun, $ABC$ üçgeninin iç teğet çemberini kestiği noktalardan $T$ ye yaķın olanı $K$ olsun. $m(\widehat{HMK})$ kaç derecedir?

Problem [H. İbrahim Ayana]: $ABC$ üçgeninin iç merkezi $I$, bir dış merkezi $I_a$ olsun. $[CI]$ üzerinden keyfi bir $P$ noktası alınıyor. $[BI_a]$ üzerinden de bir $R$ noktası $\angle BAR= \angle CAP$ olacak biçimde alınıyor. $AI$ nın $[BC]$ kenarını kestiği nokta $N$ ise $P, N, R$ noktalarının doğrusal olduğunu ispatlayınız.