$n$  pozitif bir reel sayı olsun. Kenarları $a, b, c$ olan ve $c^n=a^n+b^n$ şartını sağlayan üçgenleri sınıflandırınız.

Üçgende Kesenin Kenarlarla Yaptığı Açı Üzerine konusunda anlatılan $(k_3 = 1, N=4)$ problemine ait çözümleri doğrudan ya da dolaylı olarak (ilgili konuya link vererek) bu başlık altında toplayacağız.
Öncelikle, soruyu hatırlatmak gerekirse;

$ABC$ üçgeninin $BC$ kenarı üzerinde $AD:BC=1$ olacak şekilde $D$ noktası alınıyor. $\angle ABC = b = 100^\circ$, $\angle ACB = c = 30^\circ$, $\angle BAC = a = 50^\circ$, $\angle ADC = d = 140^\circ $, $\angle BAD = a_1 = 40^\circ$, $\angle CAD = a_2 = 10^\circ$ açıları verilen şartı sağlamakta. Bunlardan herhangi ikisi verildiğinde diğerlerinin bulunmasının sorulduğu sorular aşağıdaki tabloda verilmiştir.

$$
\begin{array}{l|l|l||l|}
k & N & \textbf{Soru} & \textbf{Cevap} \\
\hline
k_3 = 1
& 4.0 & (b=100^\circ, c=30^\circ, d=140^\circ) & k_3 = 1 \\
& 4.1 & (k_3 = 1, b=100^\circ, c = 30^\circ)  & a_1 = 40^\circ \\
& 4.2 & (k_3 = 1, a=50^\circ, d = 140^\circ)  & a_1 = 40^\circ \\
& 4.3 & (k_3 = 1, b=100^\circ, a_1 = 40^\circ)  & a_2 = 10^\circ \\
& 4.4 & (k_3 = 1, b=100^\circ, a_2 = 10^\circ)  & a_1 = 40^\circ \\
& 4.5 & (k_3 = 1, c=30^\circ, a_1 = 40^\circ)  & a_2 = 10^\circ  \\
& 4.6 & (k_3 = 1, c=30^\circ, a_2 = 10^\circ)  & a_1 = 40^\circ  \\
& 4.7^* & (k_3 = 1, a_1=40^\circ , a_2 = 10^\circ)  & b = 100^\circ \text{ veya } b = ? \\

\end{array}
$$

İlgili soruların forumda işlendiği başlıklar:

4.3

$ABC$  üçgeninde $M$  noktası $BC$  kenarının orta noktası olmak üzere $(ABM)$  çevrel çemberi $AC$  'yi $P$  noktasında kessin. $(BPC)$  çevrel çemberi $AB$  doğrusuna teğet olsun. $BP$  doğrusu $(ABC)$ 'yi ikinci kez $E$  noktasında kesiyorsa $BE:BP$  oranını bulunuz.

Problem 13. $ABC$  üçgeninde $H$  diklik merkezi, $O$  ise çevrel çember merkezi, $AD$  ise üçgenin bir yüksekliğidir. $X$  noktası $BHC$  üçgeninin çevrel çember merkezi olsun. $AO=25$,  $AH=20$  ve $BD.CD=300$  ise $AX$  kaçtır?

$AB$ çaplı çember dar açılı $ABC$ üçgeninin $BC$ kenarını $D$ de, $CA$ kenarını $E$ de kesiyor. $BE$ ile $AD$, $F$ de kesişsin. $[CF$ ışını, $AB$ çaplı çemberi önce $K$ de, sonra $L$ de kessin. $CK=3$, $FL=10$ ise $KF$ nedir?

$ABC$ dik üçgeninde hipotenüse ait yükseklik $AH$ dir. $ABC$, $ABH$, $ACH$ üçgenlerinin iç teğet çemberlerinin merkezi sırasıyla $I, J, K$ dir. $AJ=8\sqrt 2$, $AK=12$ ise $AI$ nedir?

Aşağıdaki teorem Fransız matematikçi Pierre-Léon Anne (1806–1850) tarafından bulunmuştur.


Anne Teoremi'nin 1. Kısmı: $ABCD$ dışbükey dörtgeninde köşegenlerin orta noktaları $L$ ve $K$ olsun. $LK$ doğrusu üzerinden ve dörtgenin içinde kalacak şekilde keyfi bir $P$ noktası için,
$$ \text{Alan}(ABP) + \text{Alan}(CDP) = \text{Alan}(BCP) + \text{Alan}(DAP) $$
eşitliği geçerlidir.

Problem 2.
$ABC$  üçgeninde $O$  ve $H$  sırasıyla çevrel çember ve diklik merkezi olsun. $AD$, $BE$  ve $CF$  üçgenin yükseklikleri olsun. $A$  noktasının $EF$ 'ye göre simetriği $A'$  ise $HOA'D$  dörtgeni çemberseldir, gösteriniz.

$ABC$  üçgeninde $O$  ve $H$  çevrel merkez ve diklik merkezi olmak üzere $AH$ ın orta dikmesi $AB$  ve $AC$  kenarlarını sırasıyla $D$  ve $E$  noktalarında kessin. $\angle ADE=\angle BDO$ olduğunu gösteriniz.

$ABCD$ çeşitkenar kirişler dörtgeninde $m(\widehat{ABC})=60^\circ$, $|AD|=21$, $|CD|=35$ ve $|BD|=|AD|+|CD|$ dir. Buna göre kirişler dörtgeninin çevresi nedir?

Çembersel bir $ABCDEF$ altıgeninde $AB$ ve $CF$ paraleldir. $AD,BE,CF$ köşegenleri bir $S$ noktasında kesişmektedir, $DE$ ve $CF$ doğruları ise bir $M$ noktasında kesişiyor. $S$ noktasının $M$ noktasına göre yansıması $N$ olsun. $ADF$ üçgeninin çevrel çemberinin, $CF$ nin orta noktasından geçtiğini gösteriniz.

Dar açılı ve çeşitkenar olan $ABC$  üçgeninde $O$  çevrel merkezdir. $M$, $N$  ve $P$  noktaları ise sırasıyla $BC$, $CA$  ve $AB$  kenarlarının orta noktalarıdır. $A$ 'dan geçip $OM$  doğrusuna $O$ noktasında teğet olan $w$  çemberi, sırasıyla $AB$  ve $AC$  doğrularını ikinci kez $E$  ve $F$  noktalarında kesiyor. $EF$  doğru parçasının orta noktası $I$  olmak üzere $EF$  ile $NP$  doğrularının kesişim noktası $K$  dır. Buna göre $IMO$  üçgeninin ikizkenar olduğunu ve $AO=2\cdot IK$  bağıntısının sağlandığını gösteriniz.

Bir $ABC$ üçgeni verilmiş olsun. $I$ merkezli bir $\omega$ çemberi $AB,AC$ ye teğet olsun ve $BC$ doğrusunu $X$ ve $Y$ noktalarında kessin. $I$ dan geçen ve $BC$ ye teğet olan doğru, $A$ dan geçen ve $BC$ ye paralel olan doğruyu $Z$ noktasında kessin. $\triangle{XYZ}$ ve $\triangle{ABC}$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin birbirine teğet olduğunu gösteriniz.

$ABC$ bir dik üçgen ve $[AH]$ hipotenüse ait yükseklik olmak üzere; $ABH$ üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi $I$, $ACH$ üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi $J$ dir.
$m(\widehat{ IAJ})=x^\circ$, $m(\widehat{ JIA})=y^\circ$, $m(\widehat{ AJI})=z^\circ$ ise kaç farklı $(x,y,z)$ sıralı tam sayı üçlüsü vardır?

$
\textbf{a)}\ 44
\qquad\textbf{b)}\ 89
\qquad\textbf{c)}\ 134
\qquad\textbf{d)}\ 135
\qquad\textbf{e)}\ 8010
$

$ABC$ dik üçgeninde $AH$ hipotenüse ait yükseklik olsun. $ABH$ üçgeninin iç teğet çemberi $AB$ ye $D$ de, $ACH$ üçgeninin iç teğet çemberi $AC$ ye $E$ de dokunsun. $AD$ doğru parçası üzerinde $F$ ve $AE$ doğru parçası üzerinde $G$ noktası $DF = FG = GE$ olacak şekilde alınsın. $B, F, G, C$ noktalarının çembersel olduğunu gösteriniz.

Dışbükey $ABCD$  dörtgeninde $AC$  ve $BD$  köşegenlerinin kesişimi $E$  noktasıdır. $ADE$  ve $BCE$  üçgenlerinin çevrel çemberleri $AB$  doğrusunu sırasıyla $P\neq A$  ve $Q\neq B$  noktalarında kesiyor. $ACP$ üçgeninin çevrel çemberi $AD$  doğrusunu $R\neq A$  noktasında, $BDQ$  üçgeninin çevrel çemberi ise $BC$  doğrusunu $S\neq B$  noktasında kesiyor. Buna göre $A$, $B$, $R$  ve $S$  noktalarının çembersel olduğunu ispatlayınız.

Bir geometri test kitabında çözdüğüm hoş ve basit bir soruyu paylaşmak istiyorum.

$ABC$  eşkenar üçgeninin $BC$  kenarı üzerinde alınan $D$  noktası için $BD=2$  ve $\angle BAD=15^{\circ}$  olsun. $AC$  kenarı üzerinde ise $CE=4$  olacak şekilde alınan bir $E$  noktası için, $\angle EDC$  kaçtır?

$ABC$ eşkenar üçgeninin iç teğet çemberi üzerinde $\angle APC = 120^\circ$ olacak şekilde bir $P$ noktası alınıyor. $BC=4$ ise $BP$ nedir?

$ABC$ eşkenar üçgen ($A$, $B$, $C$ sırasıyla saat yönünde) ve $P$ bu üçgenin iç teğet çemberi üzerinde bir nokta olsun. $P$ nin $B$ nin etrafında saat yönünde $60^\circ$ döndürülmesiyle $P'$ noktası elde ediliyor. $\dfrac {\text{Alan}(\triangle ABC)}{\text{Alan}(\triangle APP')} = 4$ olduğunu gösteriniz.

Soru [Rachid Iksi]: $\angle B = 60^\circ$ olan $ABC$ üçgeninin 1. Fermat noktası $F$, ağırlık merkezi $G$ olsun. $$3|FG| = \left| |AB| - |BC| \right|$$
olduğunu isptlayınız.

$ABC$  üçgeninde $O$  ve $H$  sırasıyla çevrel çember ve diklik merkezidir. $C$ 'den $AB$  kenarına inilen dikme ayağı $F$  olsun. $OF$  doğrusuna $F$  noktasında dik olan doğru $AC$  yi $P$  de kesiyorsa $\angle FHP=\angle BAC$ olduğunu gösteriniz.

Dar açılı bir $ABC$  üçgeninde $O$  çevrel merkez ve $H$  ise diklik merkezidir. Buna göre
$$OD+DH=OE+EH=OF+FH$$
ve $AD$, $BE$  ve $CF$  doğrularının noktadaş olmasını sağlayan sırasıyla $BC$, $CA$  ve $AB$  kenarları üzerinde $D$, $E$  ve $F$  noktalarının bulunduğunu ispatlayınız.

$AB<AC$  olan $ABC$  üçgeninin iç teğet çemberi $AB$  ve $BC$  ye sırasıyla $M$  ve $J$  doğrularında değmektedir. $D$  noktası $AB$  doğrusunun $B$  uzantısında $AD=AC$  olacak şekilde alınsın. $O$  noktası $CD$  nin orta noktası ise, $J-O-M$  doğrusallığını gösteriniz.

$\Gamma$,  $ABC$  üçgeninin çevrel çemberi olmak üzere $l$ doğrusu,  $\Gamma$'ya $A$  noktasında teğet olan doğru olsun. $D$  ve $E$, sırasıyla $AB$  ve $AC$  kenarları üzerinde $\dfrac{BD}{DA}=\dfrac{AE}{EC}$ olacak şekilde alınsın. $DE$  doğrusu $\Gamma$'yı $F$  ve $G$  noktalarında kessin. $D$  noktasından geçip $AC$  ye paralel olan doğru $l$ doğrusunu $H$  noktasında, $E$  noktasından geçip $AB$  ye paralel olan doğru ise $l$ doğrusunu $I$  noktasında kesmektedir. Buna göre $F$, $G$, $H$  ve $I$  noktalarının çembersel olduğunu ve bu çemberin $BC$  ye teğet olduğunu gösteriniz.

$ABCD$  karesinin $CD$  kenarı üzerinde bir  $E$  noktasi alınsın. $F\in AE$  ve $G\in BE$  noktaları ise $AE\perp BF$  ve $AG\perp BE$  olacak şekilde alınsın. Buna göre $H=DF\cap CG$  ise
$$\angle DFC+\angle DGC=90^{\circ}+\angle AHD+\angle BHC$$
eşitliği sağlanır, gösteriniz.

Kenarları tam sayı olan $ABC$ üçgeninde $[AB]$ üzerinde $D$, $[AC]$ üzerinde $E$ noktası $DE$ iç teğet çembere teğet olacak şekilde alınıyor.
$|AD|=5$, $|AE|=6$, $|DE|=7$ ise $|BC|$ nin alabileceği kaç farklı değer vardır?

$ABC$ üçgeninde $|AB|=9$, $|AC|=8$ olup, $[AB]$ üzerindeki $D$ ve  $[AC]$ üzerindeki $E$ noktası için $|BD|=|DE|=|EC|$ dir. $[DE]$ nın orta noktası $M$ olmak üzere; $AMD$ ve $AME$  üçgenlerinin iç teğet çemberlerinin merkezleri sırasıyla $I$ ve $J$ dir. $S=\text{Alan}(ABI)=\text{Alan}(ACJ)$ ise $S$ kaçtır?

Kiev Olimpiyatı, bizim Antalya Olimpiyatına benzediğinden olimpiyattan birkaç problemi paylaşmak istedim.

Problem 11.3: $ABC$  üçgeninde çevrel çemberin $AD$  çapı $BC$  kenarını $K$  noktasında kesiyor. $L$  noktası, $D$  noktasının $K$ 'ya nazaran simetriği olsun. $AB$  doğrusu üzerinde $FL\perp AC$  olacak şekilde bir $F$  noktası alınıyor. Buna göre $FK\perp AD$  olduğunu gösteriniz.

Problem [Metin Aydemir]: Hayali bir ülkenin haritası eşkenar bir üçgen şeklindedir ve bu eşkenar üçgenin tam merkezinde kralın sarayı bulunmaktadır. Kralın sarayı ile üçgenin köşeleri birleştirildiğinde oluşan üç üçgen, ülkenin üç şehrini oluşturur. Kral, ülkede çıkan yangınlara hızlı müdahale edilebilmesi için her şehre birer yangın istasyonu kurmak istemektedir. Ancak, bir şehrin sınırları içindeki bir noktaya başka bir şehrin istasyonunun daha yakın olmasının şehirler arası iletişim problemi çıkaracağını düşündüğünden, istasyonları şu koşulu sağlayacak şekilde yerleştirmek ister: Her şehrin içindeki herhangi bir noktaya kuş uçuşu (doğrusal) uzaklık bakımından en yakın istasyon, o şehrin istasyonu olsun (başka bir istasyona eşit uzaklıkta olması mümkündür). Kralın bu üç yangın istasyonunu kurabileceği yerler nerelerdir?

Bir AIME denemesinde gördüğüm hoş bir problem. İspata dayalı bir hale de getirilebilir diye düşünüyorum

$ABCD$  paralelkenarında merkezi $O$  olan $(BCD)$  çevrel çemberi $AB$  ve $AD$  kenarlarını sırasıyla $E$  ve $F$  noktalarında kessin. $AO$  ve $BD$  doğru parçalarının orta noktaları sırasıyla $P$  ve $Q$  noktaları olsun. $PQ=3$  ve $A$  dan $BD$  ye inilen dikmenin uzunluğu $7$  ise $BF\cdot DE$  ifadesini belirleyiniz.

Problem [Lokman Gökçe]: $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üzerinden keyfi bir $D$ noktası alınıyor. $F$ noktası $AC$ doğrusu üzerinde olup $EF \parallel BC$ ve  $FG \parallel AD$ olacak şekilde keyfi bir $EFGH$ paralelkenarı çiziliyor. Bu durumda $BH$, $CG$, $AD$ doğruları aynı noktadan geçer.

Dar açılı bir $ABC$  üçgeninde $O$  çevrel merkez ve $BQ$  bir yükseklik olsun. $Q$  noktasından geçen ve $OC$ 'ye paralel olan doğru $BO$  doğrusunu $X$  noktasında kesiyor. $AB$  ve $AC$  kenarlarının orta noktaları sırasıyla $M_C$  ve $M_B$  ise $X$, $M_B$  ve $M_C$  noktaları doğrudaştır, gösteriniz.

$\angle BAC=120^\circ$ olan $ABC$ üçgeninde, iç açıortayların $BC,CA,AB$ üzerindeki ayakları sırasıyla $D,E,F$ olsun. $\angle EDF=90^\circ$ olduğunu gösteriniz.

Şöyle güzel bir problem keşfettim. Eğer daha önce bulunmuş ise kusurumuz affola 


Problem (Lokman Gökçe): $ABCD$ bir tam dörtgen ve $AB \cap CD = E$, $AD \cap BC = F$ olsun. $[AC], [BD], [EB], [EA], [FD], [FC]$ doğru parçalarının orta noktaları sırasıyla $M, N, P_1, P_2, Q_1,  Q_2$'dir. $[P_1Q_1], [P_2Q_2]$ doğru parçalarının orta noktaları sırasıyla $H, J$'dir. Buna göre, $|MN| = 2|HJ|$ olduğunu ispatlayınız.

$ABCD$ teğetler dörtgeninde $m(\widehat A)=m(\widehat B)=120^\circ$, $|AB|=4$ ve $|BC|=5$ ise $\text{Çevre}(ABCD)$ nedir?

$ABC$  üçgeninin çevrel çemberine $B,C$  noktalarında teğet doğrular $E$  noktasında kesişiyor. $BC$  doğrusu üzerinde $[BC]$  üstünde olmayan bir $F$  noktası için, $EF$  doğru parçasının orta noktası $G$  olsun.  $GB\cap (ABC)=I$  ve $GC\cap (ABC)=H$  olsun. $M$  noktası $BC$  kenarının orta noktası ise. $F,G,I,H,M$  noktaları çemberseldir, gösteriniz.

$ABC$  üçgeninin sırasıyla $AB$  ve $AC$  kenarları üzerinde alınan $P$  ve $Q$  noktaları için $AP=AQ$  eşitliği sağlanıyor. $S$  ve $R$  noktaları $BR>BS$ ,  $\angle BPS=\angle PRS$ ve $\angle CQR=\angle QSR$  koşulları sağlanıyor. Buna göre $P$, $Q$, $R$  ve $S$  noktaları çemberseldir, gösteriniz.

$ABCD$  kirişler dörtgeninde $AB=7$  ve $CD=8$  dir. $P$  ve $Q$  noktaları $AB$  kenarı üzerinde $AP=BQ=3$  olacak şekilde alınıyor.  $R$  ve $S$  noktaları ise $CD$  kenarı üzerinde $CR=DS=3$  olacak şekilde alınıyor. Buna göre $P$, $Q$, $R$  ve $S$  noktalarının çemberselliğini gösteriniz.

Dar açılı $ABC$  üçgeninde $H$  diklik merkezi, $CF$  ise üçgenin yüksekliği olsun. $P$  noktası ise $H$  diklik merkezinin $BC$  ye göre simetriği olsun. $(AFP)$  çevrel çemberi $BC$  doğrusunu $X$  ve $Y$  de kesiyorsa $XC=CY$  olduğunu gösteriniz.

Dar açılı $ABC$  üçgeninin çevrel çemberi $\omega$  dır. $H$  diklik merkezi, $M$  ve $N$  sırasıyla $AB$  ve $AC$  kenarlarının orta noktaları olsun. $[MH$  ve $[NH$  ışınları, $\omega$  yı sırasıyla $P$  ve $Q$  da kessin. $R=MN\cap PQ$  ise $RA$  doğrusunun $\omega$  ya teğet olduğunu gösteriniz.

Verilen bir yamuğu,

• iki tabanından da geçen bir doğru ile
• iki yanal kenarından da geçen bir doğru ile

pergel ve cetvel kullanarak alanca eşit iki yamuğa ayırın.

$ABC$ üçgeninde $[BC]$ üzerindeki $D$ noktası için $AD\perp BC$, $|CD|=1$, $|BD|=x$, $|AD|=\dfrac {x}{\sqrt{1-2x}}$ ve $\angle BAD = 37^\circ$ ise $\angle ACB$ kaç derecedir?

$\textbf{a)}\ 15  \qquad\textbf{b)}\ 16  \qquad\textbf{c)}\ 18  \qquad\textbf{d)}\ 18,5  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

2023 yılının Balkan MO Shortlist'inden bir problemle uğraşıyordum. Diklik merkezi konfigürasyonu üzerine kuruluydu. Problemin ispatında yararlı bir özellik fark ettim. Burada da paylaşmış olayım.


Problem:
$ABC$  üçgeninde $H$  diklik merkezi ve $D$, $E$  ve $F$  noktaları ise sırasıyla $A$, $B$  ve $C$  köşelerinden inilen dikme ayaklarıdır. $P$ ve $Q$  noktaları, sırasıyla $(BDH)$  ve $(CDH)$  çevrel çemberleri ile $(ABC)$  çevrel çemberinin kesişim noktalarıdır. $PH$  doğrusu $AC$  yi $R$  de, $QH$  doğrusu ise $AB$  yi $S$  noktasında kestiğine göre $P$, $Q$, $R$  ve $S$  noktaları çemberseldir, gösteriniz.

$ABC$ üçgeninin $BC, CA, AB$ kenarları üzerinde sırasıyla $D,E,F$ noktaları $BD=20$, $DC=15$, $CE=13$, $EA=8$, $AF=6$, $FB=22$ olacak şekilde alınıyor. $\angle EDF$ kaç derecedir?

$ABC$ bir eşkenar üçgen ve $BC$ nin orta noktası $M$ dir. $[BM]$, $[AM]$, $[AB]$ üzerinde sırasıyla $D, E, F$ noktaları $\triangle DEF$ eşkenar olacak şekilde alınıyor. $BF/AF=2/3$ ise $\dfrac{\text{Alan}(DEF)}{\text{Alan}(ABC)}$ nedir?

Birbirine benzer üç ikizkenar üçgenin kenar köşelerinin uç uca birleştirilmesiyle oluşan altıgenin en uzak köşelerini birleştiren doğruların bir noktada kesiştiğini ispatlayınız.

Tepe açısı $m(\widehat A)=40^\circ$ olan $ABC$ ikizkenar üçgeninde iç teğet çember $BC$ ye $M$ de, $AB$ ye $T$ de dokunmaktadır. $C$ den $AB$ ye inilen yüksekliğin ayağı $H$ ve $H$ nin $T$ ye göre simetriği $N$ olsun. $N$ den geçen ve $BC$ ye paralel olan doğrunun, $ABC$ üçgeninin iç teğet çemberini kestiği noktalardan $T$ ye yaķın olanı $K$ olsun. $m(\widehat{HMK})$ kaç derecedir?

$ABC$  üçgeninde $M$  noktası $AB$  kenarının orta noktası, $B'$  ise $B$ 'den inilen dikme ayağıdır. $(CB'M)$  çevrel çemberi $BC$  doğrusunu ikinci kez $D$  noktasında kesiyor. $(ABD)$  çevrel çemberi ile $(CB'M)$  çevrel çemberleri $K\neq D$  noktasında kesişiyor. $C$ noktasından geçip $AB$  doğrusuna paralel olan doğru $(CB'M)$  çevrel çemberini ikinci kez $L$  noktasında kesiyorsa $KL$  doğrusunun $CM$ 'yi ikiye böldüğünü gösteriniz.

Problem [H. İbrahim Ayana]: $ABC$ üçgeninin iç merkezi $I$, bir dış merkezi $I_a$ olsun. $[CI]$ üzerinden keyfi bir $P$ noktası alınıyor. $[BI_a]$ üzerinden de bir $R$ noktası $\angle BAR= \angle CAP$ olacak biçimde alınıyor. $AI$ nın $[BC]$ kenarını kestiği nokta $N$ ise $P, N, R$ noktalarının doğrusal olduğunu ispatlayınız.