Sayfa: 1 2 [3] 4 5 ... 10
21
« Son İleti Gönderen: ahmedsyldz Mayıs 21, 2026, 12:19:02 ös »
$(1 - x_1^2)(1 - x_2^2)(1 - x_3^2) = -(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)(-1-x_1)(-1-x_2)(-1-x_3)$ olduğundan $Q(1) = -P(1)P(-1)$ eşitliği yazılabilir, buradan $a + b + c = 2$ gelir.
22
Cevap: $\boxed{A}$
Verilen ifadeye $m\geq 0$ olmak üzere $m^2$ diyelim. $m=0$ için çözüm yoktur, dolayısıyla $m\geq 1$ kabul edebiliriz. $$m^2+1=n^5(9n+7)$$ elde edilir. $n$ ve $9n+7$'nin pariteleri farklı olduğundan $m^2+1$ çifttir, yani $m$ tektir.
Eğer $m$ tekse $m^2+1\equiv 2\pmod{8}$ olacağından $n$ de tek olmak zorundadır, aksi takdirde $4\mid n^5$ olurdu. Sonuç olarak $9n+7$ çifttir, hatta $$9n+7\equiv 2\pmod{4}\implies n\equiv 3\pmod{4}$$ elde edilir. Yani $n$'nin $4k+3$ formatında bir asal böleni vardır (aksi takdirde tüm asal bölenleri $4k+1$ formatında olurdu ve $n$ de $4k+1$ formatında olurdu). Bu asal bölene $p$ diyelim. $$m^2+1\equiv 0\pmod{p}\implies m^2\equiv -1\pmod{p}$$ olduğundan $-1$ karekalandır, bu da çelişkidir çünkü $-1$'in $p$ modunda karekalan olması için gerek ve yeterli koşul $p$'nin $4k+1$ formatında olmasıdır. Yani çözüm yoktur.
23
« Son İleti Gönderen: diktendik Mayıs 21, 2026, 01:34:20 öö »
Yanıt : $\boxed{B}$
$Q(x)$ tam sayı katsayılı bir polinom olmak üzere $P(x)=Q(x)(x-20)(x-26)+p$ olup herhangi bir tam sayı kökü olması için $x_1$ tam sayısı için $-p=(x_1-20)(x_1-26)Q(x_1)$ olur. Bu durumda soldaki çarpanlardam biri ya $-1$ ya $1$ olmalıdır. Bu durumların her birinde diğer çarpanın mutlak değeri $7$ veya $5$ olup işarete göre $Q(x_1)$, $-1$ veya $1$ olacak şekilde belirlenir ve $p$'nin alabileceği $2$ değer vardır.
24
Cevap: $\boxed{E}$
$5x-7y=\lambda$ diyelim, $\lambda$'nın en küçük değerini arıyoruz. $y=\frac{5x-\lambda}{7}$ yazarsak, $x>\frac{\lambda}{7}$ olur ve $$63=2x^2-3x\left(\frac{5x-\lambda}{7}\right)=\frac{-x^2+3x\lambda}{7},$$ dolayısıyla, $$x^2-3x\lambda+441=0$$ bulunur. Bu denklemin pozitif kökü olmalıdır, dolayısıyla, $\Delta\geq 0$ ve $\lambda>0$ olmalıdır ($\Delta\geq 0$ ise kökü vardır, köklerin çarpımı $441$ pozitif olduğundan köklerin toplamı, yani $3\lambda$ pozitif olmalıdır). Diskriminant $\Delta=9\lambda^2-4\cdot 441\geq 0$ olduğundan $\lambda\geq 14$ bulunur. Yani en küçük değer en az $14$'dür ($14$'dür demiyoruz) ancak şıklardan hiçbiri $14$'den büyük olmadığından cevap "Hiçbiri" olacaktır. Böyle bir $\lambda$ yoksa da cevap otomatik olarak hiçbiri olacaktır.
Yine de $\lambda=14$'ü teyit edelim. $x^2-3x\lambda+441=(x-21)^2=0$ olur. $x=21$ bir çözümdür. Yerine yazarsak, $y=13$ bulunur. Yani gerçekten de minimum değer $14$'dür.
25
« Son İleti Gönderen: diktendik Mayıs 21, 2026, 01:13:58 öö »
Yanıt: $\boxed{E}$
$|KB|=7k,|LC|=3x$ olsun. Açı taşırsak $\angle EIK=\angle EBI$ olup benzerlikten $|EI|=12k$ ve benzer şekilde $|DI|=2x$ olur. $\triangle EBC$'nde iç açıortay teoreminden $|IC|=\frac{3}{4}|BC|$ ve $\triangle DBC$'nde iç açıortay teoreminden $|IB|=\frac{2}{4}|BC|$ olur ve oran $\frac{2}{3}$ olur.
26
Cevap: $\boxed{A}$
Fonksiyona $f(x)$ diyelim. Fonksiyon $4$. dereceden olduğundan ve başkatsayısı pozitif olduğundan sınırlarda ($-\infty$ ve $+\infty$'de) $+\infty$ değeri alır. En küçük değeri kritik noktalarından birinde alacaktır. $$f'(x)=8x^3+36x^2+46x+15=(2x+1)(2x+3)(2x+5)$$ olduğundan minimum değer $x=-\frac{1}{2}$, $x=-\frac{3}{2}$ ve $x=-\frac{5}{2}$ noktalarından birinde alınır. Bu değerleri yerine yazarsak, $f\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{49}{8}$ en küçüğü olarak bulunur.
27
Cevap: $\boxed{B}$
$(x+y,y+z,z+x)=(a,b,c)$ dönüşümü yaparsak, $abc=108$ bulunur. Buradan elde edilen $(a,b,c)$ çözümünden $(x,y,z)$ elde edebilmemiz için $a+b+c$'nin çift olması gerek ve yeterli şarttır. Çünkü $(x,y,z)=\left(\frac{a-b+c}{2},\frac{a+b-c}{2},\frac{-a+b+c}{2}\right)$'dir ($a$,$b$ veya $c$ eklenerek görülebilir).
$abc=10^8=2^{8}\cdot 5^8$ olduğundan $a+b+c$'nin çift olmasının tek yolu birinin çift, diğer ikisinin tek olması veya üçünün birden çift olmasıdır. Eğer biri çiftse sadece $2^8$'i çift olana koyacağımızdan $3$ şekilde dağıtılabilir. Eğer üçü birden çiftse üç tane $2$ çarpanını dağıtırız ve geriye $2^5$ kalır. $2^{m_1}\cdot 2^{m_2}\cdot 2^{m_3}=2^5$ olması için $m_1+m_2+m_3=5$ olmalıdır. Dağılım formülünden, $\binom{5+3-1}{3-1}=\binom{7}{2}=21$ şekilde dağıtılabilir. Yani $2$ çarpanını $21+3=24$ farklı şekilde dağıtabiliriz.
Ayrıca $-1$ çarpanını da dağıtmamız gerekiyor, $(+,+,+)$, $(+,-,-)$, $(-,+,-)$, $(-,-,+)$ olabileceğinden $4$ farklı şekilde dağıtılabilir. Bu yüzden de $4$ ile çarpmak gerekmektedir.
Son olarak $5^8$'ü de dağıtmalıyız. $5^{n_1}\cdot 5^{n_2}\cdot 5^{n_3}=5^8$ olması için $n_1+n_2+n_3=8$ olmalıdır. Dağılım formülünden, $\binom{8+3-1}{3-1}=\binom{10}{2}=45$ çözüm vardır. Dolayısıyla tüm çözüm sayısı $24\cdot 4\cdot 45=4320$'dir.
28
Cevap: $\boxed{C}$
Vieta formüllerinden $x_1+x_2+x_3=0$, $x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-3$ ve $x_1x_2x_3=-1$'dir. Bizden istenilenler ise $$a=-x_1^2-x_2^2-x_3^2$$ $$b=x_1^2x_2^2+x_1^2x_3^2+x_2^2x_3^2,$$ $$c=-x_1^2x_2^2x_3^2$$ şeklindedir. $c=-1$ olduğu kolayca görülebilir, $$x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)=6$$ olduğundan $a=-6$'dır. $$x_1^2x_2^2+x_1^2x_3^2+x_2^2x_3^2=(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)^2-2(x_1+x_2+x_3)x_1x_2x_3=9$$ olduğundan $b=9$'dur. Sonuç olarak $a+b+c=2$ bulunur.
29
Cevap: $\boxed{B}$
$p$ asal bir sayı ve $k\geq 1$ olmak üzere $a^3+54a+55=p^k$ olsun ($k=0$ olamaz). $a=-1$ bir kök olduğundan ifade çarpanlarına ayrılabilir. $$a^3+54a+55=(a+1)(a^2-a+55)$$ olduğundan $a+1=\pm 1$ veya $p\mid a+1$ olmalıdır. $a$ pozitif olduğundan dolayısıyla $p\mid a+1$ olmalıdır.
Şimdi de $a^2-a+55$ çarpanına odaklanalım. $a^2-a+55\geq 55$ olduğundan bu çarpan da $\pm 1$ olamaz ve $p\mid a^2-a+55$'dir. $a\equiv -1\pmod{p}$ yazarsak, $$a^2-a+55\equiv (-1)^2-(-1)+55\equiv 57\equiv 0\pmod{p}$$ bulunur. Yani sadece $p=3$ veya $p=19$ olabilir. Ancak şunu da görebiliriz, eğer hem $a+1$ hem de $a^2-a+55$ sayıları $p^2$'ye bölünseydi $57\equiv 0\pmod{p^2}$ olurdu ki bu da çelişkidir. Dolayısıyla, ya $a+1=p$'dir ya da $a^2-a+55=p$ olmalıdır. Bariz şekilde $a^2-a+55>a+1$ olduğundan $a=p-1$'dir.
$p=3$ ise $a=2$ olmalıdır ancak $a^2-a+55=57\neq 3^k$ olduğundan çözüm değildir.
$p=19$ ise $a=18$ olmalıdır. Yerine koyarsak, $a^2-a+55=361=19^2$ olduğundan çözümdür ($a^3+54a+55=19^3$). Şartı sağlayan tek pozitif tamsayı $a=18$'dir.
30
« Son İleti Gönderen: diktendik Mayıs 21, 2026, 12:32:44 öö »
Yanıt : $\boxed{A}$
Ilk polinomun kökleri toplamının üçte biri ortanca koku verip bu kök $3$ olur. Ortak farklı $d$ ise vietadan $a=27-r^2$ ve $b=3r^2-27$ bulunur. Ikinci denklemin kökleri çarpımının küpkökü ortanca kökü verir ve bu değer $-1$ bulunur. Ortak çarpan $r$ ise $a=\frac{1}{d}+1+d$ ve $b=1+\frac{1}{d}+d$ olur. Dolayısıyla ilk kısımdan $r^2=\frac{27}{2}$ olur. $a+b=2r^2=27$ olur.
Sayfa: 1 2 [3] 4 5 ... 10
|
Son İletiler