11
« Son İleti Gönderen: geo Mayıs 23, 2026, 10:20:04 ös »
Yanıt: $\boxed D$ $\angle ACF = \angle ACD - \angle DCF = \angle BAC - \angle FAD = 90^\circ - \angle ABE - \angle FAD = 90^\circ - 37^\circ - 26^\circ = 27^\circ$.
size(7cm);
// Yay acimlari (derece) - problem kosullarina gore hesaplandi:
// AB||CD: arc(AB)=arc(CD)=a, DG||EF: arc(DE)=arc(FG)=d
// AC perp BE: 2a+d=180, m(ABE)=37: g=22, m(FAD)=26: e+d=52
// Toplam 360: b=106
real a = 75, b = 106, d = 30, e = 22, g = 22;
// Kose acisal konumlari (90 dereceden CCW)
real angA = 90;
real angB = angA + a;
real angC = angB + b;
real angD = angC + a;
real angE = angD + d;
real angF = angE + e;
real angG = angF + d;
pair A = dir(angA);
pair B = dir(angB);
pair C = dir(angC);
pair D = dir(angD);
pair E = dir(angE);
pair F = dir(angF);
pair G = dir(angG);
// Cevre cemberi
draw(unitcircle);
// Yedigen kenarlari
draw(A--B--C--D--E--F--G--cycle);
// Paralel kenar ciftleri (AB||CD mavi, DG||EF kirmizi)
draw(A--B);
draw(C--D);
//draw(D--G,linewidth(2));
draw(E--F,linewidth(2));
// Dikesenleri ciz (AC perp BE)
draw(A--C, linewidth(1.5));
draw(B--E, dashed);
// Kesisim noktasi ve dik aci isareti
pair T = extension(A, C, B, E);
dot(T, black+4);
draw(rightanglemark(A, T, B, 2));
// Sorulan acinin kenarlari (m(ACF) = ?)
draw(A--F, dashed);
draw(A--D,dashed);
draw(C--F,linewidth(1.5));
// Aci isaretleri
//markangle("$37^\circ$", A, B, E, radius=0.3, purple);
//markangle("$26^\circ$", F, A, D, radius=0.6, orange);
//markangle("$?$", A, C, F, radius=0.4, heavygreen);
// Noktalar ve etiketler
dot(A); dot(B); dot(C); dot(D);
dot(E); dot(F); dot(G);
label("$A$", A, dir(angA)*1.15);
label("$B$", B, dir(angB)*1.15);
label("$C$", C, dir(angC)*1.15);
label("$D$", D, dir(angD)*1.15);
label("$E$", E, dir(angE)*1.15);
label("$F$", F, dir(angF)*1.15);
label("$G$", G, dir(angG)*1.15);
Not: Çözümde $G$ yi hiç kullanmadık. $DG \parallel EF$ gereksiz idi.
12
« Son İleti Gönderen: mesutttttt Mayıs 23, 2026, 02:15:19 öö »
$2x^4+12x^3+23x^2+15x-3$ =$2(x^2 + 3x + \frac{5}{4})^2 - \frac{49}{8}$ $\Delta$>0 olduğundan ifadenin minimum değeri -$\frac{49}{8}$dir
13
« Son İleti Gönderen: mesutttttt Mayıs 23, 2026, 02:04:29 öö »
$2x^2-3xy=63$ Bu denklemden $y$'yi çekelim ve ikinci denklemde yerine yazalim:$$3xy = 2x^2 - 63 \implies y = \frac{2x^2 - 63}{3x}$$$$5x - 7\left(\frac{2x^2 - 63}{3x}\right)$$$$\frac{15x^2 - 14x^2 + 441}{3x} = \frac{x^2 + 441}{3x}$$$$\frac{x}{3} + \frac{147}{x}$$ AGO uygularsak$$\frac{x}{3} + \frac{147}{x} \ge 2\sqrt{49}$$$$\frac{x}{3} + \frac{147}{x} \ge 2 \cdot 7 = 14$$ $x=21$ ve $y=13$ değerleri sorunun tüm şartlarını sağlar ve ifadenin değerini 14 yapar.
14
« Son İleti Gönderen: ahmedsyldz Mayıs 23, 2026, 12:37:53 öö »
$f(x, y) = 5x - 7y$ ve $g(x, y) = 2x^2 - 3xy - 63$ olsun. $g(x, y) = 0$ koşulu altında $f$'in ekstremum noktası Lagrange çarpanı metodu gereği $\nabla f = \lambda \nabla g$ eşitliğini sağlamalıdır. Buradan $5 = \lambda(4x - 3y)$ ve $-7 = \lambda(-3)x$ gelir. Bu ifadeleri oranladığımızda $13x = 21y$ elde ederiz. $g(x, y) = 0$ olduğundan $x^2 = 441$ gelir ve $x$ pozitif olduğundan $x = 21$ olmalıdır. Bu durumda $f$'in minimumu $5x - 7y = \frac{2x}{3} = 14$ olur.
15
« Son İleti Gönderen: diktendik Mayıs 22, 2026, 11:45:30 ös »
Yanıt : $\boxed{B}$
Öncelikle eğer bir terim herhangi bir $p$ asal sayısına bölünüyorsa bu $k^2-k+1\equiv 0\pmod p$ demektir ve en az bir adet $p$’den küçük çözümü vardır. Dolayısıyla bir asal sayı çarpıma en geç üst indis o asal sayı olduğunda girer. $f(n)<n-2$ olan bir $n$ olduğunu farz edelim. $k^2-k+1<k(k+1)$ olduğundan bu ifadede $k$’den büyük en fazla $1$ asal sayı olabilir. Zaten demin ifade ettiğimiz gibi $k$’ye kadar olan asal sayılar çarpıma daha önce dahil edildiği için yeni terim diziye en fazla $1$ yeni asal ekleyebilir. $n$ sayısı da arttığından demin kabul ettiğimiz $f(n)<n-2$’den sonra soruda istenen koşulu sağlayan tam sayı bulunamaz. Şimdi birkaç adet $n$ için $f(n)$’i hesaplayıp ilk kez $<n-2$ olduğu yerde duracağız. $f(1)=0,f(2)=1,f(3)=2,f(4)=3,f(5)=3,f(6)=4$$,f(7)=5,f(8=6,f(9)=7,f(10)=7 $ dolayısıyla koşulu sağlayan tüm tam sayılar $5,6,7,8,9$’dur ve $5$ adettir.
16
Klasik bir metot olarak $n.$ dereceden bir polinomda $x^{n-1}$'in katsayısını sıfırlama yöntemini kullanalım. $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots$ polinomunda $x=y-\frac{a_{n-1}}{na_n}$ dönüşümü yapılırsa, $y^{n-1}$'in katsayısı $0$ olacaktır. Bu polinom için uygularsak, $x=y-\frac{3}{2}$ dönüşümü yapmamız gerekir ki yerine koyduğumuzda $$2y^4-4y^2-\frac{33}{8}=2(y^2-1)^2-\frac{49}{8}$$ elde edilir. Bu fonksiyonun en küçük değeri $y=\pm 1$ için $-\frac{49}{8}$ olarak bulunur.
17
« Son İleti Gönderen: geo Mayıs 22, 2026, 11:12:19 ös »
Yanıt: $\boxed E$.
$a>b>c>1$ ve $a+b+c=101$ şartlarını sağlayan $(a,b,c)$ üçlülerinin sayısı $N$ olsun.
$a$ kırmızı kutudaki top sayısını ifade eder. Beyaz kutudaki top sayısı $b$ veya $c$ kadar olabilir. Bu durumda aradığımız yanıt $2N$ olacaktır.
$x,y,z$ negatif olmayan tam sayılar olmak üzere; $c=z+1$, $b=c+1+y=y+z+2$, $a=b+1+x=x+y+z+3$ olsun. $a+b+c=x+2y+3z+6=101$ ve $x+2y+3z=95$ olacaktır.
$x+2y=95-3z \in \{95, 92, 89, \cdots, 5, 2\}$
$y$ nin değerine göre tek bir türlü $x$ seçilecektir.
$y$ nin alabileceği değerlerin sayısı $48,47, 45, 44, \dots, 3, 2$ olacaktır.
Bu toplam da $N = 95 + 89 + 83 + \dots 11 + 5$.
$N=\displaystyle \sum_{k=1}^{16} 6k - 1 = 6\cdot \dfrac{16\cdot 17}{2}-16=16\cdot 51-16=16\cdot 50 =800$.
$2N=1600$.
18
« Son İleti Gönderen: ahmedsyldz Mayıs 22, 2026, 10:53:50 ös »
$\phi(n)$ Euler totient fonksiyonu olmak üzere, $ebob(1.3.5\cdots31, 32) = 1$ olduğundan $(1.3.5\cdots(2^{2026}-1)) \equiv (1.3.5.7\cdots31)^{2^{2021}} \equiv ((1.3.5.7\cdots31)^{\phi(32)})^{2^{2017}} \equiv 1 \pmod{32}$ olur.
19
« Son İleti Gönderen: ahmedsyldz Mayıs 22, 2026, 09:47:42 ös »
$a_n = \frac{b_n}{(n+1)!}$ olarak tanımlayalım. Bu durumda verilen eşitlikten $\frac{b_n}{(n-1)!} = \frac{b_{n-1}}{(n-1)!} - \frac{b_{n-2}}{(n-1)!} \implies b_n = b_{n-1} - b_{n-2}$ ifadesi gelir. $b_1 = 12$ ve $b_2 = 2028.6$ olduğu bilindiğinden $b_3 = 1013.12$, $b_4 = -12$, $b_5 = -1014.12$, $b_6 = -1013.12$ ve $b_7 = 12$ olur. Bu durumda $b_n = b_{n \pmod 6}$ olduğu açıktır. O halde $b_{2027} = b_{5} = -1014.12$ ve $b_{2026} = b_4 = -12$ olur. Buradan $\frac{a_{2027}}{a_{2026}} = \frac{b_{2027}}{2028.b_{2026}} = \frac{1}{2}$ gelir.
20
« Son İleti Gönderen: Yağmur Çağla Mayıs 22, 2026, 06:08:40 ös »
Bu ifade $2(x^2+3x+1)^2 +(x^2+3x+1)-6$ şeklinde yazılabilir. $y=x^2+3x+1$ değişken değiştirmesi yaparsak $2y^2+y-6$ elde edilir. Bu ifade $y=\dfrac{-b}{2a}$ tepe noktasında minimum değerini alır. Yani $y=\dfrac{-1}{4}$ seçilir. $y=\dfrac{-1}{4}$ için diskriminant $0$'dan büyük olduğu için $x$ gerçel sayı değeri vardır. Öyleyse $y=\dfrac{-1}{4}$ değerini parabolik ifadede yerine koyarsak minimum değer $\dfrac{-49}{8}$ olarak bulunur.
|
Son İletiler