Geomania.Org Forumları

Fantezi Cebir => Fantezi Cebir => Konuyu başlatan: ERhan ERdoğan - Mart 31, 2013, 01:04:23 öö

Başlık: 18. UAMO (2013) Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: ERhan ERdoğan - Mart 31, 2013, 01:04:23 öö
2013 Akdeniz Matematik Olimpiyatı 1. aşama sorularının tamamı çözümleriyle beraber ektedir. Ayrıca 5. problemin yarışma sorusu ve başka bir yerde bulamayacağınız yarışma aday sorusu halindeki orijinal versiyonu da belgede eklenmiştir. İyi çalışmalar ...



Başlık: Ynt: 18. UAMO Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: geo - Mart 31, 2013, 12:52:01 ös
11.

[AB üzerinde E noktasını m(BEC)=36 olacak şekilde alalım.
AC=AC=EB=a olsun.
BC hipotenüs olmak üzere BCF ikizkenar dik üçgenini E ile F BC nin farklı taraflarında yer alacak şekilde kuralım.
BF=FC=1 ve EBFC bir deltoittir.
m(EBF) = 45+72 = 117
m(ACD) = 153- 36 = 117
, EB=AC=a ve CD=BF=1
olduğu için EBF~ACD dir.
EBFC deltoidinde m(BEF)=18 olduğu için m(DAC)=18 ve m(BAD)=36+18=54 tür.

Cevap: B
Başlık: Ynt: 18. UAMO Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: ERhan ERdoğan - Mart 31, 2013, 03:28:10 ös
25.
Başlık: Ynt: 18. UAMO Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: ERhan ERdoğan - Mart 31, 2013, 03:45:38 ös
17.

''m basamaklı bir sayı ile n basamaklı bir sayının çarpımı en fazla m+n basamaklı olur.''

a sayısı t basamaklı olsun. O halde f(a) = t dir.

f(a2)=t+t=2t , f(a3)=2t+t=3t ...... , f(a20)=19t+t=20t

t+2t+3t+......+20t = 2730 

210t = 2730

t=13
Başlık: Ynt: 18. UAMO Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: ERhan ERdoğan - Mart 31, 2013, 03:58:22 ös
18.

y = 7x+4z-7  denklemini verilen ikinci ifade de kullanalım.

x3+2x2-7x+z2-4z+1078 . İfadeyi uygun şekilde şöyle parçalayabiliriz.

x3+2x2-7x+4+z2-4z+4+1070

(x-1)2.(x+4) + (z-2)2 +1070

x=1 , z=2 için en küçük değer 1070 dir.

Başlık: Ynt: 18. UAMO Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: geo - Mart 31, 2013, 04:08:17 ös
1.

[x2] = 2x - 1 bir tam sayı olduğu için 2x bir tam sayı olmak zorunda.
a bir tam sayı olmak üzere; x=2a/2=a veya x = (2a+1)/2 formunda olmalı.
x=a için,
a2 - 2a + 1 = 0 => a=1 => x=1.

x=(2a+1)/2 için,
x2 = (4a2 + 4a + 1)/4 = a2 + a + 1/4
[x2] - 2x + 1 = a2 + a - (2a+1) + 1 = 0
=> a2-a = 0 => a=0 ya da a =1
Bu durumda, x=1/2 ya da x=3/2 elde edilir.
Bulduğumu değerlerden üçünün de denklemi sağladığını kontrol ettikten sonra cevap 1+1/2+3/2 = 3  olarak bulunur.

Cevap: D
Başlık: Ynt: 18. UAMO Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: geo - Mart 31, 2013, 04:12:06 ös
3.

720 = 6 (mod n)
714 = 0 (mod n)
2.3.7.17 = 0 (mod n)
714'ün pozitif bölenleri 2.2.2.2 = 16 tanedir.
Bunlardan 1,2,3,6 sayıları için kalan 6'dan küçük olmak zorunda olduğu için cevap 16-4 = 12.

Cevap: E
Başlık: Ynt: 18. UAMO Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: ERhan ERdoğan - Mart 31, 2013, 04:13:42 ös
19.

toplamları 2013 eden, en büyük ve en küçük elemanlar arasındaki, eleman sayısının oluşturduğu alt küme sayısını hesaplayacağız

{1006,1007} için 20

{1005,1006,1007,1008} için 22

{1004,1005,1006,1007,1008,1009} için 24

........

{1,2,........,2012,2013}  için 22010

toplamda 20+22+24+........+22010 tane alt küme yazılır.

22=4(mod7) , 24=2(mod7) , 26=1(mod7) ve

22+24+26=0(mod7) olduğundan, ilk terimden sonraki 1005 terimin toplamı mod7 de sıfır olur.

O halde sonuç 1 dir.


Başlık: Ynt: 18. UAMO Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: geo - Mart 31, 2013, 04:25:14 ös
8.

Kosinüs Teoreminden
c2 + 9 - 2.c.3.cos(60) = 16 => c2 - 3c = 7

(a3+b3+c3)/(a+b+c) = (c3 + 91)/(c+7)

c3 = 3c2 + 7c = 3(3c + 7) + 7c = 16c +21

(16c+ 112)/(c+7) = 16

Cevap: B
Başlık: Ynt: 18. UAMO Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: geo - Mart 31, 2013, 04:32:23 ös
9.

[BC] üzerinde AC=CD=b olacak şekilde bir D noktası alalım.
BD=a-b olacaktır.

m(C)=2x dersek, m(DAC)=90-2x ve m(BAD)=2x olacaktır.
m(BAD) = m(BCA) olduğu için
BA2 = BD.BC
c2 = (a-b)a
=> c2 = a2 - ab
=> b = (a2-c2)/a olur.


Cevap: A
Başlık: Ynt: 18. UAMO Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: geo - Mart 31, 2013, 04:49:25 ös
21.

Çözüme geçmeden önce bir şeyler söyleyeyim.
Böyle bir soru gördüğüm zaman,
29x2 = 58, 26x2 =52 olduğu için AC, BAD açısının açıortayı diyorum.

Bir iç açıortay ile iki dış açıortay dış merkezde kesişir. Dış merkezden kenara bakan açı, üçgende bu kenara bakan açının yarısıdır. Sorudaki veriler, bu konfigürasyonu doğrular vaziyette. Şıkkımızı işaretler geçeriz.


Biraz daha estetik bir çözüm yapalım:
ADB açısının açıortayı AE yi I da kessin.
m(IDB) = 26 = m(ACB) olduğu için BIDC dörtgeni bir kirişler dörtgenidir.
m(ICD)=m(IBD)=29 olacağından ve m(ABD)=58 olduğu için
m(ABI)=m(IBD)=29 olur.
Bu durumda I, iç açıortayların kesişim noktası, yani, m(BAE)=35 tir.
Bu durumda, m(AED)= 58 +35 = 93 olarak elde edilir.

Cevap: A
Başlık: Ynt: 18. UAMO Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: bunyamin - Mart 31, 2013, 07:54:27 ös
13.
Başlık: Ynt: 18. UAMO Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: ERhan ERdoğan - Mart 31, 2013, 07:59:40 ös
7.
Başlık: Ynt: 18. UAMO Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: FEYZULLAH UÇAR - Mart 31, 2013, 08:10:22 ös
7.çözüm 2.yol
x4+3x3+11x2+3x+1=x4+2x2+1+3x3+9x2+3x
=(x2+1)2+3x(x2+1)+9x2  ifadesine AGO uygularsak
(x2+1)2+3x(x2+1)+9x2>=9x(x2+1)  bulunur.Buradan cevap 1/9 bulunur.
Başlık: Ynt: 18. UAMO Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: FEYZULLAH UÇAR - Mart 31, 2013, 08:17:33 ös
5.soru.
x1=a,x2=b,x3=c negatif ise -x1,-x2,-x3  pozitif olur.
-3a-9b-4c=18 olur.a.b.c=-2 ise -abc=2 olur.
 -3a,-9b ve -4c ye AGO uygularsak 
-3a-9b-4c=>(-3a.9b.4c)1/3 ise 6>=6 olduğundan -3a=-9b=-4c=k olur . kökler çarpımından k=6 bulunur.gerekli işlemler yapılırsa cevap 79/36 bulunur.
Başlık: Ynt: 18. UAMO Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: FEYZULLAH UÇAR - Mart 31, 2013, 08:31:01 ös
12.soru

Aşağıda görüldüğü gibi sadece x=-1 denklemin reel kökü olur.
Başlık: Ynt: 18. UAMO Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: FEYZULLAH UÇAR - Mart 31, 2013, 08:53:43 ös
15.soru
(m3+m2+11)/(m2-m+1)=m+2+(m2+10)/(m2-m+1) şeklinde yazalım
m+2 tamsayı olduğundan (m2+10)/(m2-m+1) ifadesi tamsayı olmalıdır.
(m2+10)/(m2-m+1)=k ise m2+10=k.(m2-m+1) denklemi elde edilir. sağ taraf 2.dereceden bir denklem olduğundan m+9 ifadesinden belli bir aralıktan sonra daha hızlı  artar.
bu aralıkta ortak çözüm yapılırsa [-2,4] olur.Bu aralıkta istenen şartı sağlayan değerler -2,0,1,4 dir.Ayrıca birde m=-9 içinde istenen sağlanır. Toplam 5 değer olur.
Başlık: Ynt: 18. UAMO Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: FEYZULLAH UÇAR - Mart 31, 2013, 09:13:36 ös
16.soru
Başlık: Ynt: 18. UAMO Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: proble_m - Mart 31, 2013, 10:17:20 ös
4.soru
Başlık: Ynt: 18. UAMO Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: ERhan ERdoğan - Mart 31, 2013, 10:21:54 ös
6.

ABE üçgeni ile CAD üçgeni eştir (K-A-K). Bu eşliğe göre, m(ABE)=m(CAD) dir. m(CAD)+m(BAD)=60o olduğundan
m(ABE)+m(BAD)=60o=m(BNF) olur.
BNF üçgeninde m(NBF)=30o olduğundan BN=2.NF=2b dir.
Eş üçgenlerden ötürü , BE=AD=2b+a dır.
Başlık: Ynt: 18. UAMO Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: proble_m - Mart 31, 2013, 10:59:03 ös
10.
Başlık: Ynt: 18. UAMO Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: ERhan ERdoğan - Mart 31, 2013, 11:42:35 ös
22.
Başlık: Ynt: 18. UAMO Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: proble_m - Mart 31, 2013, 11:43:56 ös
14.
Başlık: Ynt: 18. UAMO Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: proble_m - Nisan 01, 2013, 12:51:34 öö
20.
Başlık: Ynt: 18. UAMO Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: FEYZULLAH UÇAR - Nisan 01, 2013, 04:44:29 ös
24.soru
Başlık: Ynt: 18. UAMO Birinci Aşama Sınavı Soruları {çözüldü}
Gönderen: scarface - Nisan 03, 2013, 08:34:55 ös
Tüm soruların çözümlerini yapıp kolay bulunabilirlik açısından ilk mesaja pdf olarak ekledim. İyi çalışmalar ...
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal