Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Uluslararası Matematik Olimpiyatı => 2026 => Konuyu başlatan: geo - Ağustos 02, 2026, 05:11:03 ös
-
Bir tahtaya her biri $1$'den büyük olan $2026$ tane tam sayı yazılmıştır ve bu sayılar birbirinden farklı olmak zorunda değildir. Confucius her hamlesinde tahtanın farklı yerlerine yazılmış $m>1$ ve $n>1$ tam sayılarını seçiyor ve bu sayıları silip yerlerine
$$\operatorname{ebob}(m,n) \quad \text{ve} \quad \dfrac{\operatorname{ekok}(m,n)}{\operatorname{ebob}(m,n)}$$
tam sayılarını yazıyor. Confucius hamle yapabildiği sürece hamle yapmaya devam ediyor.
(a) Confucius hamlelerini nasıl yaparsa yapsın sonlu hamle sonucunda tahtadaki sayıların biri dışında hepsinin $1$ ve birinde de $1$'den büyük olan bir $M$ sayısına eşit olacağını gösteriniz.
(b) $M$ sayısının değerinin Confucius'un hamlelerinden bağımsız olduğunu gösteriniz.
($\operatorname{ebob}(x,y)$ ile $x$ ve $y$ sayılarının en büyük ortak böleni, $\operatorname{ekok}(x,y)$ ile $x$ ve $y$ sayılarının en küçük ortak katı gösterilmektedir.)