Geomania.Org Forumları

Fantezi Geometri => Fantezi Geometri => Konuyu başlatan: AhmetG - Temmuz 14, 2026, 02:24:07 ös

Başlık: Model 1.8'e ait Soru
Gönderen: AhmetG - Temmuz 14, 2026, 02:24:07 ös

$P$, $ABC$ üçgeni içinde bir noktadır.

\[
\angle BAP = 20^\circ,\qquad
\angle PAC = 10^\circ,\qquad
\angle PBA = 30^\circ,\qquad
\angle PCA = 40^\circ.
\]

Buna göre, $\angle PBC$ kaç derecedir?

Başlık: Ynt: Model 1.8'e ait Soru
Gönderen: niratesbiadenroc1 - Temmuz 14, 2026, 05:09:04 ös

import geometry;

size(14cm);
defaultpen(fontsize(11pt));

real t=4;

// Noktalar
pair A=(0,0);
pair P=t*dir(10);

pair B=extension(
    A,A+dir(30),
    P,P+dir(60)
);

pair C=extension(
    A,A+dir(0),
    P,P+dir(-40)
);

// Kalemler
pen kenar=black+1.1bp;
pen ic=black+0.75bp;
pen verilen=black+0.8bp;
pen bulunan=red+0.9bp;

// Üçgen
draw(A--B--C--cycle,kenar);

// İç doğru parçaları
draw(A--P,ic);
draw(B--P,ic);
draw(C--P,ic);

// A köşesindeki 10 derecelik yay
draw(
    A+0.43*dir(0)
    --A+0.43*dir(2)
    --A+0.43*dir(4)
    --A+0.43*dir(6)
    --A+0.43*dir(8)
    --A+0.43*dir(10),
    verilen
);

// A köşesindeki 20 derecelik yay
draw(
    A+0.70*dir(10)
    --A+0.70*dir(14)
    --A+0.70*dir(18)
    --A+0.70*dir(22)
    --A+0.70*dir(26)
    --A+0.70*dir(30),
    verilen
);

// B köşesindeki 30 derecelik yay
draw(
    B+0.43*dir(210)
    --B+0.43*dir(215)
    --B+0.43*dir(220)
    --B+0.43*dir(225)
    --B+0.43*dir(230)
    --B+0.43*dir(235)
    --B+0.43*dir(240),
    verilen
);

// B köşesindeki 20 derecelik yay
draw(
    B+0.70*dir(240)
    --B+0.70*dir(244)
    --B+0.70*dir(248)
    --B+0.70*dir(252)
    --B+0.70*dir(256)
    --B+0.70*dir(260),
    bulunan
);

// C köşesindeki 60 derecelik yay
draw(
    C+0.40*dir(80)
    --C+0.40*dir(90)
    --C+0.40*dir(100)
    --C+0.40*dir(110)
    --C+0.40*dir(120)
    --C+0.40*dir(130)
    --C+0.40*dir(140),
    bulunan
);

// C köşesindeki 40 derecelik yay
draw(
    C+0.68*dir(140)
    --C+0.68*dir(148)
    --C+0.68*dir(156)
    --C+0.68*dir(164)
    --C+0.68*dir(172)
    --C+0.68*dir(180),
    verilen
);

// Noktalar ve adları
dot("$A$",A,SW);
dot("$B$",B,N);
dot("$C$",C,SE);
dot("$P$",P,NW);

// Açı etiketleri
label("$10^\circ$",A+0.66*dir(5),S);
label("$20^\circ$",A+0.94*dir(20),NW);

label("$30^\circ$",B+0.68*dir(225),SW);
label("$20^\circ$",B+0.94*dir(250),E,bulunan);

label("$60^\circ$",C+0.62*dir(110),NE,bulunan);
label("$40^\circ$",C+0.93*dir(160),NW);

// Sonuç
label(
    "$\angle PBC=20^\circ$",
    (A+C)/2+(0,-0.80),
    S,
    bulunan
);

Çözüm

$x=\angle PBC$ olsun.

$ABP$ üçgeninde açıların toplamından

$\angle APB=180^\circ-20^\circ-30^\circ=130^\circ$

bulunur.

$APC$ üçgeninde de

$\angle APC=180^\circ-10^\circ-40^\circ=130^\circ$

bulunur.

$P$ noktasının çevresindeki açıların toplamı $360^\circ$ olduğundan

$\angle BPC=360^\circ-130^\circ-130^\circ=100^\circ$

olur.

Buna göre $BPC$ üçgeninde

$\angle PCB=180^\circ-100^\circ-x=80^\circ-x$

bulunur.

Şimdi $\lvert BP\rvert/\lvert PC\rvert$ oranını hesaplayalım.

$ABP$ üçgeninde sinüs teoreminden

$\frac{\lvert BP\rvert}{\lvert AP\rvert}=\frac{\sin(20^\circ)}{\sin(30^\circ)}$

elde edilir.

$\sin(30^\circ)=\frac{1}{2}$ olduğundan

$\frac{\lvert BP\rvert}{\lvert AP\rvert}=2\sin(20^\circ)$

olur.

$APC$ üçgeninde sinüs teoreminden

$\frac{\lvert PC\rvert}{\lvert AP\rvert}=\frac{\sin(10^\circ)}{\sin(40^\circ)}$

elde edilir.

İlk oran ikinci orana bölünürse

$\frac{\lvert BP\rvert}{\lvert PC\rvert}=\frac{2\sin(20^\circ)\sin(40^\circ)}{\sin(10^\circ)}$

bulunur.

Şimdi bu ifadeyi adım adım düzenleyelim.

Genel olarak

$2\sin(\alpha)\sin(\beta)=\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)$

özdeşliği vardır.

Bu özdeşlik, kosinüsün toplam ve fark formüllerinden elde edilir:

$\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)+\sin(\alpha)\sin(\beta)$

ve

$\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)$.

İkinci eşitlik birinci eşitlikten çıkarılırsa

$\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)=2\sin(\alpha)\sin(\beta)$

elde edilir.

Burada $\alpha=20^\circ$ ve $\beta=40^\circ$ alınırsa

$2\sin(20^\circ)\sin(40^\circ)=\cos(-20^\circ)-\cos(60^\circ)$

olur.

Kosinüs çift fonksiyon olduğundan $\cos(-20^\circ)=\cos(20^\circ)$ ve $\cos(60^\circ)=\frac{1}{2}$ olduğuna göre

$2\sin(20^\circ)\sin(40^\circ)=\cos(20^\circ)-\frac{1}{2}$

bulunur.

Şimdi $\cos(20^\circ)$ ifadesini dönüştürelim.

$\sin(30^\circ)=\frac{1}{2}$ olduğundan $2\sin(30^\circ)=1$ olur. Bu nedenle

$\cos(20^\circ)=2\sin(30^\circ)\cos(20^\circ)$

yazılabilir.

Genel olarak

$2\sin(\alpha)\cos(\beta)=\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)$

özdeşliği vardır.

Bu özdeşlik, sinüsün toplam ve fark formüllerinden elde edilir:

$\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta)$

ve

$\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta)-\cos(\alpha)\sin(\beta)$.

Bu iki eşitlik taraf tarafa toplanırsa

$\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin(\alpha)\cos(\beta)$

elde edilir.

Burada $\alpha=30^\circ$ ve $\beta=20^\circ$ alınırsa

$2\sin(30^\circ)\cos(20^\circ)=\sin(50^\circ)+\sin(10^\circ)$

olur.

Dolayısıyla

$\cos(20^\circ)=\sin(50^\circ)+\sin(10^\circ)$

elde edilir.

Bunu önceki ifadede yerine yazarsak

$2\sin(20^\circ)\sin(40^\circ)=\sin(10^\circ)+\sin(50^\circ)-\frac{1}{2}$

bulunur.

$\frac{1}{2}=\sin(30^\circ)$ olduğundan

$2\sin(20^\circ)\sin(40^\circ)=\sin(10^\circ)+\sin(50^\circ)-\sin(30^\circ)$

yazılabilir.

Şimdi $\sin(50^\circ)-\sin(30^\circ)$ farkını dönüştürelim.

Genel olarak

$\sin(\alpha)-\sin(\beta)=2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$

özdeşliği vardır.

Bu özdeşlikte $\alpha=50^\circ$ ve $\beta=30^\circ$ alınırsa

$\sin(50^\circ)-\sin(30^\circ)=2\cos(40^\circ)\sin(10^\circ)$

elde edilir.

Böylece

$2\sin(20^\circ)\sin(40^\circ)=\sin(10^\circ)+2\cos(40^\circ)\sin(10^\circ)$

olur.

Sağ tarafta $\sin(10^\circ)$ ortak çarpanına alınırsa

$2\sin(20^\circ)\sin(40^\circ)=\sin(10^\circ)(1+2\cos(40^\circ))$

bulunur.

Her iki taraf $\sin(10^\circ)$ ile bölünürse

$\frac{2\sin(20^\circ)\sin(40^\circ)}{\sin(10^\circ)}=1+2\cos(40^\circ)$

elde edilir.

Şimdi $1+2\cos(40^\circ)$ ifadesinin $\frac{\sin(60^\circ)}{\sin(20^\circ)}$ ifadesine eşit olduğunu gösterelim.

$\sin(60^\circ)=\sin(20^\circ+40^\circ)$ olduğundan, sinüsün toplam formülü kullanılırsa

$\sin(60^\circ)=\sin(20^\circ)\cos(40^\circ)+\cos(20^\circ)\sin(40^\circ)$

olur.

Ayrıca

$\sin(40^\circ)=\sin(20^\circ+20^\circ)$

ve sinüsün toplam formülünden

$\sin(40^\circ)=2\sin(20^\circ)\cos(20^\circ)$

elde edilir.

Bu ifade yerine yazılırsa

$\sin(60^\circ)=\sin(20^\circ)\cos(40^\circ)+2\sin(20^\circ)\cos^2(20^\circ)$

olur.

$\sin(20^\circ)$ ortak çarpanına alınırsa

$\sin(60^\circ)=\sin(20^\circ)(\cos(40^\circ)+2\cos^2(20^\circ))$

bulunur.

Şimdi $2\cos^2(20^\circ)$ ifadesini dönüştürelim.

Kosinüsün toplam formülünden

$\cos(40^\circ)=\cos(20^\circ+20^\circ)=\cos^2(20^\circ)-\sin^2(20^\circ)$

olur.

Ayrıca

$1=\cos^2(20^\circ)+\sin^2(20^\circ)$

eşitliği vardır.

Bu iki eşitlik taraf tarafa toplanırsa

$1+\cos(40^\circ)=2\cos^2(20^\circ)$

elde edilir.

Dolayısıyla

$\cos(40^\circ)+2\cos^2(20^\circ)=\cos(40^\circ)+1+\cos(40^\circ)$

ve buradan

$\cos(40^\circ)+2\cos^2(20^\circ)=1+2\cos(40^\circ)$

olur.

Böylece

$\sin(60^\circ)=\sin(20^\circ)(1+2\cos(40^\circ))$

elde edilir.

Her iki taraf $\sin(20^\circ)$ ile bölünürse

$1+2\cos(40^\circ)=\frac{\sin(60^\circ)}{\sin(20^\circ)}$

bulunur.

Sonuç olarak

$\frac{\lvert BP\rvert}{\lvert PC\rvert}=\frac{\sin(60^\circ)}{\sin(20^\circ)}$

elde edilir.

Öte yandan $BPC$ üçgeninde sinüs teoreminden

$\frac{\lvert BP\rvert}{\lvert PC\rvert}=\frac{\sin(80^\circ-x)}{\sin(x)}$

olur.

Bu nedenle

$\frac{\sin(80^\circ-x)}{\sin(x)}=\frac{\sin(60^\circ)}{\sin(20^\circ)}$

eşitliği elde edilir.

$x=20^\circ$ alınırsa

$\frac{\sin(80^\circ-20^\circ)}{\sin(20^\circ)}=\frac{\sin(60^\circ)}{\sin(20^\circ)}$

olur ve eşitlik sağlanır.

Ayrıca $0^\circ<x<80^\circ$ aralığında $x$ arttıkça $\sin(80^\circ-x)$ azalır ve $\sin(x)$ artar. Her iki ifade de pozitiftir. Bu nedenle

$\frac{\sin(80^\circ-x)}{\sin(x)}$

oranı bu aralıkta kesin olarak azalır. Dolayısıyla bulunan çözüm tektir.

Sonuç olarak

$\angle PBC=20^\circ$

bulunur.

Böylece

$\angle PCB=60^\circ$

olur.



NOT: Kenarların sıralaması

$ABC$ üçgeninin açıları

$\angle A=30^\circ$, $\angle B=50^\circ$ ve $\angle C=100^\circ$

olur.

$ABC$ üçgeninde $AB$ kenarı $100^\circ$ açısının, $AC$ kenarı ise $50^\circ$ açısının karşısındadır. Bu nedenle

$\lvert AB\rvert>\lvert AC\rvert$

olur.

$APC$ üçgeninde $AC$ kenarı $130^\circ$ açısının, $AP$ kenarı ise $40^\circ$ açısının karşısındadır. Bu nedenle

$\lvert AC\rvert>\lvert AP\rvert$

olur.

$AP$ ile $BC$ farklı üçgenlerde bulunduğu için bu iki uzunluk ayrıca karşılaştırılmalıdır.

$ABP$ üçgeninde sinüs teoreminden

$\frac{\lvert AB\rvert}{\lvert AP\rvert}=\frac{\sin(130^\circ)}{\sin(30^\circ)}$

elde edilir.

$\sin(130^\circ)=\sin(50^\circ)$ ve $\sin(30^\circ)=\frac{1}{2}$ olduğundan

$\frac{\lvert AB\rvert}{\lvert AP\rvert}=2\sin(50^\circ)$

olur.

$ABC$ üçgeninde sinüs teoreminden

$\frac{\lvert BC\rvert}{\lvert AB\rvert}=\frac{\sin(30^\circ)}{\sin(100^\circ)}$

elde edilir.

$\sin(30^\circ)=\frac{1}{2}$ ve $\sin(100^\circ)=\sin(80^\circ)$ olduğundan

$\frac{\lvert BC\rvert}{\lvert AB\rvert}=\frac{1}{2\sin(80^\circ)}$

olur.

Bu iki oran çarpılırsa

$\frac{\lvert BC\rvert}{\lvert AP\rvert}=\frac{\lvert BC\rvert}{\lvert AB\rvert}\cdot\frac{\lvert AB\rvert}{\lvert AP\rvert}$

ve dolayısıyla

$\frac{\lvert BC\rvert}{\lvert AP\rvert}=\frac{\sin(50^\circ)}{\sin(80^\circ)}$

elde edilir.

$50^\circ<80^\circ<90^\circ$ olduğundan

$\sin(50^\circ)<\sin(80^\circ)$

olur.

Bu nedenle

$\frac{\lvert BC\rvert}{\lvert AP\rvert}<1$

ve buradan

$\lvert AP\rvert>\lvert BC\rvert$

elde edilir.

Son olarak $BPC$ üçgeninde açılar $100^\circ$, $60^\circ$ ve $20^\circ$ olur.

$BC$ kenarı $100^\circ$ açısının, $BP$ kenarı $60^\circ$ açısının ve $PC$ kenarı $20^\circ$ açısının karşısındadır. Dolayısıyla

$\lvert BC\rvert>\lvert BP\rvert>\lvert PC\rvert$

olur.

Bütün karşılaştırmalar birleştirilirse

$\lvert AB\rvert>\lvert AC\rvert>\lvert AP\rvert>\lvert BC\rvert>\lvert BP\rvert>\lvert PC\rvert$

elde edilir.