Geomania.Org Forumları

Fantezi Geometri => Fantezi Geometri => Konuyu başlatan: AhmetG - Temmuz 09, 2026, 06:57:01 ös

Başlık: Geniş Açılı Üçgende Açı Sorusu
Gönderen: AhmetG - Temmuz 09, 2026, 06:57:01 ös

Bir ABC üçgeninde içinde alınan P noktası için.

∠ABP=10°
∠PAC=10°
∠ACP=10°
∠BCP=100° olarak verilmiştir

Buna göre x=∠PBC kaç derecedir?

(Trigonometrik çözümü yapılabilir.Sentetik çözümünü forumda biraz aradım, ama galiba daha önce çözülmemiş.)

Başlık: Ynt: Geniş Açılı Üçgende Açı Sorusu
Gönderen: geo - Temmuz 10, 2026, 08:55:04 öö

$BC$ üzerinde $B'$ noktasını, $\angle PB'C=20^\circ$ olacak şekilde alırsak, problem Model 2.4 ya da Model 2.7 ye döner (https://geomania.org/forum/index.php?action=model-bulucu#20,100,10,10). $\angle AB'P=\angle ABP =10^\circ$ olur. $ABP$ çevrel çemberi $B'$ noktasından geçer.
Sorun şu ki, $B'$ noktası, $B$ ile $C$ arasında, $B$ nin üzerinde ya da $CB$ uzantısı üzerinde olabilir.
İlki sağlamaz, diğer ikisi sağlar. Bu durumda, $\angle PBC = 20^\circ$ ya da $\angle PBC = 30^\circ$ olur.

$BC$ üzerinde $B'$ noktasını, $\angle PB'C=30^\circ$ alırsak da, soru Model 2.6'ya ya da Model 2.9'a döner (https://geomania.org/forum/index.php?action=model-bulucu#30,100,10,10).

Başlık: Ynt: Geniş Açılı Üçgende Açı Sorusu
Gönderen: AhmetG - Temmuz 10, 2026, 09:05:03 ös

Elinize sağlık hocam. Buna dayanan Model 2.9'un sorusunun çözümünü de ben paylaşayım o zaman.

(https://i.ibb.co/HTdDh0B0/V191-b.png)

$[AC]$ tabanlı eşkenar üçgeni oluşturalım. $APC$ ikizkenar olduğu için $[DP]$ açıortaydır. $\angle PDC=\angle PBC=30^\circ$ olduğundan $DPCB$ kirişler dörtgenidir. $\angle BDC=\angle DCB=50^\circ$ olduğundan $|BD|=|BC|$ olur. $|AD|=|AC|$ ve $\angle ADB=\angle ACB=110^\circ$ olduğundan $\triangle ACB\cong\triangle ADB$ olur. Dolayısıyla $ADBC$ bir deltoiddir ve $[AB]$ açıortaydır. Buradan da $\angle ABP=10^\circ$ bulunur.

Başlık: Ynt: Geniş Açılı Üçgende Açı Sorusu
Gönderen: geo - Temmuz 11, 2026, 07:24:17 öö

$\angle CBP = 20^\circ$ olduğu durum için bir çözüm vereyim. Bu konfigürasyon Model 2.7'in konfigürasyonudur; ama aşağıda vereceğim çözüm sadece bu soru içindir. Genel bir çözüm değildir.



$\angle BPC = 60^\circ$, $AP=PC$.
$[BP]$ üzerinde $PC=PD$ olacak şekilde $D$ alalım. $\triangle PDC$ eşkenardır. $P$, $\triangle ADC$ nin çevrel merkezidir. $\angle ADP = \angle DAP=20^\circ$.

$[BC]$ üzerinde $DC=DE$ olacak şekilde $E$ noktası alalım.
$\angle DEC=\angle DCE=40^\circ$.
$\angle BDE = \angle DBE = 20^\circ$ ve $BE=DE$.

$\triangle APD \cong \triangle DEB$. Bu durumda $BD=AD$ ve $\angle ABD = \angle BAD = 10^\circ$. Buradan da, $\angle ABP=10^\circ$ ve $\angle BAP=30^\circ$ elde edilir.

Başlık: Ynt: Geniş Açılı Üçgende Açı Sorusu
Gönderen: geo - Temmuz 11, 2026, 07:39:29 öö

Model 2.7 için şöyle bir çözüm verilebilir:

Soru: $\angle CBP = 2t$, $\angle BCP=90^\circ + t$, $\angle PCA = \angle PAC = 30^\circ - 2t$ ise $\angle BAP=30^\circ$ olduğunu gösteriniz.

Çözüm:

$P$ merkezli, $PA$ yarıçaplı çember; $[BC$ nin uzantısını $D$ de kessin.
$\angle PDC=\angle PCD = 90^\circ - t$. $\angle CPD = 2t = 2\angle CAD \Longrightarrow \angle CAD= t$. $\angle PAD=\angle PDA=30^\circ -t$.

Bu durumda, $\triangle ABD$ için $P$ noktası Model 4.7 (https://geomania.org/forum/index.php?topic=4308.0) $(30-t,90-t) : (2t, 30-t) \to (t,30)$ problemine dönecektir.

Başlık: Ynt: Geniş Açılı Üçgende Açı Sorusu
Gönderen: geo - Temmuz 11, 2026, 07:31:10 ös

Model 2.7 için bir çözüm daha:

Soru: $\angle CBP = 2t$, $\angle BCP=90^\circ + t$, $\angle PCA = \angle PAC = 30^\circ - 2t$ ise $\angle BAP=30^\circ$ olduğunu gösteriniz.

Çözüm:

$P$ merkezli $PA$ yarıçaplı çember, $BC$ yi $D$ de kessin.
$\angle PCD = \angle PDC = 90^\circ - t$, $\angle BPD = 90^\circ - t$ ve $BD=DP$ dir.



$\angle DPE = 60^\circ$ olacak şekilde $AD$ küçük yayı üzerinde $E$ noktası alalım. $\triangle DPE$ eşkenar üçgen olacaktır. $BPED$ deltoidinde $BE$ köşegeni açıortay olacaktır.

$\angle APB = 2t + 90^\circ + t + 30^\circ - 2t + 30^\circ - 2t = 150^\circ - t$ ve $\angle BDE = 90^\circ - t + 60^\circ = 150^\circ - t$ olduğu için $\triangle APB \cong \triangle EDB$ dir. Bu durumda, $\angle ABP = \angle EBD = t$ ve $\angle BAP = 30^\circ$ olacaktır.

Başlık: Ynt: Geniş Açılı Üçgende Açı Sorusu
Gönderen: geo - Temmuz 12, 2026, 12:52:57 öö

Model 2.6 için bir çözüm:

Soru: $\angle BAP = t$, $\angle ABP = 30^\circ$, $\angle CBP=90^\circ + t$, $\angle BCP = 30^\circ - 2t$ ise $\angle CAP=2t^\circ$ ve $\angle ACP = 30^\circ - 2t$ olduğunu gösteriniz.

Çözüm:

$\triangle ABP$ nin çevrel merkezi $O$ olsun.
$\angle AOP = 60^\circ$ ve $\angle BOP = 2t$.
$\angle OAB = \angle OBA = 60^\circ - t$.
$O, B, C$ doğrusaldır.
$\angle AOB + \angle OCP = 90^\circ$, yani $CP \perp AO$.
$AP=PO$ olduğu için $CP$, $\angle ACO$ nun açıortayıdır.
$\angle ACP = 30^\circ - 2t$ ve $\angle CAP = 2t$.

size(400);

pair bpt(pair V, pair P1, pair P2, real r){
  real a1 = degrees(P1-V);
  real a2 = degrees(P2-V);
  real amid = (a1+a2)/2;
  return V + r*dir(amid);
}

pair B = (0,0), C = (6,0);
pair A = (-2.638156, 3.144032);
pair P = (-0.192533, 1.091911);
pair G = (A + B + C) / 3;

draw(A--B--C--cycle);
draw(P--A); draw(P--B); draw(P--C);

// --- Cozumun geri kalani (kirmizi) ---
pair O = (-3.192532, 0);   // ABP nin cevrel merkezi
draw(O--B, red);            // O, B, C dogrusal (dogru CB uzerinde)
draw(O--A, red);           // OA yaricapi
draw(O--P, red);           // OP yaricapi
dot("$O$", O, unit(O-G), red);

dot("$A$", A, unit(A-G));
dot("$B$", B, unit(B-G));
dot("$C$", C, unit(C-G));
dot("$P$", P, unit(P-G));

markangle("", P, B, A);   // ABP
markangle("", C, B, P, radius=0.4, black);   // PBC
markangle("$30^{\circ}-2t$", P, C, B);   // BCP
markangle("$t$", B, A, P);   // BAP
markangle("$2t$", B, O, P, red);
markangle("", P, O, A, red);

label("$30^\circ$", bpt(B,A,P, 0.75), black);
label("$90^\circ + t$", bpt(B,C,P, 0.75), black);
label("$60^\circ $", bpt(O,A,P, 0.85), red);