Geomania.Org Forumları

Fantezi Geometri => Fantezi Geometri => Konuyu başlatan: geo - Temmuz 04, 2026, 12:03:36 öö

Başlık: (k₂ = 1/3, N=1) Kesen Problemi
Gönderen: geo - Temmuz 04, 2026, 12:03:36 öö

Üçgende Kesenin Kenarlarla Yaptığı Açı Üzerine (https://geomania.org/forum/index.php?topic=6748.msg19470#msg19470) konusunda anlatılan $(k_2=1/3, N=1)$ problemine ait çözümleri doğrudan ya da dolaylı olarak (ilgili konuya link vererek) bu başlık altında toplayacağız.
Öncelikle, soruyu hatırlatmak gerekirse;

$ABC$ üçgeninin $BC$ kenarı üzerinde $AB:DC=1/3$ olacak şekilde $D$ noktası alınıyor. $\angle ABC = b = 60^\circ$, $\angle ACB = c = 15^\circ$, $\angle BAC = a = 105^\circ$, $\angle ADC = d = 105^\circ$, $\angle BAD = a_1 = 45^\circ$, $\angle CAD = a_2 = 60^\circ$ açıları verilen şartı sağlamakta. Bunlardan herhangi ikisi verildiğinde diğerlerinin bulunmasının sorulduğu sorular aşağıdaki tabloda verilmiştir.

$$
\begin{array}{l|l|l||l|}
k & N & \textbf{Soru} & \textbf{Cevap} \\
\hline
k_2=1/3 & 1.0 & (b=60^\circ, c=15^\circ, d=105^\circ) & k_2=1/3 \\
& 1.1 & (k_2=1/3, b=60^\circ, c=15^\circ) & a_1=45^\circ \\
& 1.2 & (k_2=1/3, a=105^\circ, d=105^\circ) & a_1=45^\circ \\
& 1.3 & (k_2=1/3, b=60^\circ, a_1=45^\circ) & a_2=60^\circ \\
& 1.4 & (k_2=1/3, b=60^\circ, a_2=60^\circ) & a_1=45^\circ \\
& 1.5 & (k_2=1/3, c=15^\circ, a_1=45^\circ) & a_2=60^\circ \text { veya } a_2 = ? \\
& 1.6 & (k_2=1/3, c=15^\circ, a_2=60^\circ) & a_1=45^\circ \\
& 1.7 & (k_2=1/3, a_1=45^\circ, a_2=60^\circ) & b=60^\circ \\

\end{array}
$$

İlgili soruların forumda işlendiği başlıklar:

1.0 (https://geomania.org/forum/index.php?topic=9719.msg27088#msg27088)
1.1 (https://geomania.org/forum/index.php?topic=9719.msg27089#msg27089)
1.3 (https://geomania.org/forum/index.php?topic=9719.msg27091#msg27091)
1.4 (https://geomania.org/forum/index.php?topic=9719.msg27090#msg27090)
1.6 (https://geomania.org/forum/index.php?topic=9719.msg27092#msg27092)

Başlık: Ynt: (k₂ = 1/3, N=1) Kesen Problemi
Gönderen: geo - Temmuz 04, 2026, 12:07:44 öö

Problem: $(k_2=1/3, N=1.0) \equiv (b=60^\circ, c=15^\circ, d=105^\circ) \Longrightarrow k_2=1/3 $

size(10cm);

// (k2=1/3, N=1.0): b=60, c=15, d=105  =>  AB:DC = 1/3
// Problem cizimi (siyah)
real b = 60, c = 15;

pair B = (0,0);
pair C = (7,0);

real AB = length(C-B) * sin(c*pi/180) / sin((180-b-c)*pi/180);
pair A = B + AB*dir(b);

real angAB = degrees(B - A);
pair D = extension(A, A + dir(angAB + 45), B, C);   // BAD = a1 = 45

draw(A--B--C--cycle);
draw(A--D);

draw(anglemark(C, B, A));
label("$60^\circ$", anglemark(C, B, A), NE*0.6 + 1);

draw(anglemark(C, D, A));
label("$105^\circ$", anglemark(C, D, A), NE*0.5);

markangle("$15^\circ$", A, C, B);

dot(A); dot(B); dot(C); dot(D);
label("$A$", A, NW);
label("$B$", B, SW);
label("$C$", C, SE);
label("$D$", D, S);

Çözüm 1:

$[DC]$ üzerinde $AE=EC$ olacak şekilde $E$ noktası alalım.

size(10cm);

// (k2=1/3, N=1.0): b=60, c=15, d=105  =>  AB:DC = 1/3
// Problem cizimi (siyah)
real b = 60, c = 15;

pair B = (0,0);
pair C = (7,0);

real AB = length(C-B) * sin(c*pi/180) / sin((180-b-c)*pi/180);
pair A = B + AB*dir(b);

real angAB = degrees(B - A);
pair D = extension(A, A + dir(angAB + 45), B, C);   // BAD = a1 = 45

draw(A--B--C--cycle);
draw(A--D);

draw(anglemark(C, B, A));
label("$60^\circ$", anglemark(C, B, A), NE*0.6 + 1);

draw(anglemark(C, D, A));
label("$105^\circ$", anglemark(C, D, A), NE*0.5);

markangle("$15^\circ$", A, C, B);

// --- COZUM 1 ICIN EKLENENLER (kirmizi) ---
pair E = extension(midpoint(A--C), midpoint(A--C) + rotate(90)*(C-A), B, C);   // AE = EC

draw(A--E, red);
draw(E--C, red);
draw(pathticks(A--E, 1, 0.5, 2), red);
draw(pathticks(E--C, 1, 0.5, 2), red);


dot(A); dot(B); dot(C); dot(D);
dot(E, red);
label("$A$", A, NW);
label("$B$", B, SW);
label("$C$", C, SE);
label("$D$", D, S);
label("$E$", E, S, red);

$\angle BAD = \angle DAE = 45^\circ$, $\angle AEB = 30^\circ$.
$AB=1$ dersek, $AE=EC=\sqrt 3$, $BE=2$.
$\triangle BAE$ de, iç açıortay teoreminden $BD = \sqrt 3 - 1$, $DE = 3 - \sqrt 3$.
Bu durumda $DC = 3-\sqrt 3 + 3 = 3$. $\blacksquare$

Çözüm 2:

$[AC]$ üzerinde $\triangle ADE$ eşkenar üçgen olacak şekilde $E$ noktası alalım.

size(10cm);

// (k2=1/3, N=1.0): b=60, c=15, d=105  =>  AB:DC = 1/3
// Problem cizimi (siyah)
real b = 60, c = 15;

pair B = (0,0);
pair C = (7,0);

real AB = length(C-B) * sin(c*pi/180) / sin((180-b-c)*pi/180);
pair A = B + AB*dir(b);

real angAB = degrees(B - A);
pair D = extension(A, A + dir(angAB + 45), B, C);   // BAD = a1 = 45

draw(A--B--C--cycle);
draw(A--D);

draw(anglemark(C, B, A));
label("$60^\circ$", anglemark(C, B, A), NE*0.6 + 1);

markangle("$15^\circ$", A, C, B);

// --- COZUM 2 ICIN EKLENENLER (kirmizi) ---
pair E = rotate(60, A)*D;          // ADE eskenar ucgen, E [AC] uzerinde
pair O = circumcenter(C, D, E);    // CDE nin cevrel merkezi
pair F = extension(O, E, B, C);    // OE ile CD nin kesisimi

pair bpt(pair V, pair P1, pair P2, real r){
  real a1 = degrees(P1-V);
  real a2 = degrees(P2-V);
  real amid = (a1+a2)/2;
  return V + r*dir(amid);
}

draw(D--E, red);
draw(O--E, red);
draw(O--D, red+dashed);
draw(O--C, red+dashed);

draw(pathticks(A--B, 2, 0.5, 2), red);
draw(pathticks(D--F, 2, 0.6, 2), red);
draw(pathticks(A--D, 1, 0.5, 2), red);
draw(pathticks(D--E, 1, 0.5, 2), red);


draw(anglemark(E, D, A, 15), red);
draw(anglemark(C, D, E, 15), red);
draw(anglemark(D, C, O, 15), red);
draw(anglemark(O, D, C, 15), red);
draw(rightanglemark(C, O, F, 8), red);
draw(anglemark(D, C, O, 15), red);

label("$60^\circ$", bpt(D, A, E, 0.75), red);
label("$45^\circ$", bpt(D, E, C, 0.75), red);
label("$30^\circ$", bpt(D, C, O, 0.80), red);
label("$30^\circ$", bpt(C, D, O, -0.85), red);

dot(A); dot(B); dot(C); dot(D);
dot(E, red); dot(O, red); dot(F, red);
label("$A$", A, NW);
label("$B$", B, SW);
label("$C$", C, SE);
label("$D$", D, S);
label("$E$", E, NE, red);
label("$O$", O, SW, red);
label("$F$", F, N, red);

$CDE$ nin çevrel merkezi $O$ olsun. $OE$ ile $CD$, $F$ de kesişsin.
$\angle EDC = 45^\circ$, $\angle EOC = 90^\circ$, $\angle CFO = 60^\circ$, $\angle FDO = \angle DOF = \angle FCO = 30^\circ$.
$AD = DE$ ve iç açıları eşit olduğu için $\triangle ABD \cong \triangle DFE$. Bu durumda, $AB=DF=1$.
$DF=FO=1$, $\triangle FCO$ da $FC=2\cdot FO = 2$.
$CD=2+1=3$. $\blacksquare$

Çözüm 3:

$k_2$ problemlerinin karakteristik trigonometrik denklemini $AB/AD$ ve $AD/AC$ oranlarını taraf tarafa çarparak bulabiliriz.
Sonuç olarak şöyle bir denklem elde ederiz.

$\dfrac {AB}{CD} = \dfrac {\sin \angle ADC \cdot \sin \angle ACD}{\sin \angle ABC \cdot \sin \angle ACB}$

Bu soru özelinde,

$\dfrac {AB}{CD} = \dfrac {\sin 105^\circ \cdot \sin 15^\circ}{\sin 60^\circ \cdot \sin 60^\circ} = \dfrac {2\cos 15^\circ \sin 15^\circ}{2\sin ^2 60^\circ} = \dfrac {\frac 12}{\frac 32} = \dfrac 13$. $\blacksquare$

Başlık: Ynt: (k₂ = 1/3, N=1) Kesen Problemi
Gönderen: geo - Temmuz 04, 2026, 01:55:22 öö

Problem:
$(k_2=1/3, N=1.1) \equiv (b=60^\circ, c=15^\circ) \Longrightarrow a_1=45^\circ$

size(10cm);

// (k2=1/3, N=1.1): b=60, c=15 => a1=?
real b=60, c=15;

pair B=(0,0);
pair C=(7,0);

real AB=length(C-B)*sin(c*pi/180)/sin((180-b-c)*pi/180);
pair A=B+AB*dir(b);

pair D=C+3*AB*dir(180);  // DC=3*AB (k2=AB:DC=1/3)

draw(A--B--C--cycle);
draw(A--D);

draw(anglemark(C,B,A));
label("$60^\circ$", anglemark(C,B,A), NE*0.6+1);

markangle("$15^\circ$", A, C, B);

draw(anglemark(B,A,D));
label("$ $", anglemark(B,A,D), -NE+0.7);

label("$1$", midpoint(A--B), W);
label("$3$", midpoint(D--C), S);

dot(A); dot(B); dot(C); dot(D);
label("$A$", A, NW);
label("$B$", B, SW);
label("$C$", C, SE);
label("$D$", D, S);

Çözüm 1:

size(10cm);

// (k2=1/3, N=1.1): b=60, c=15 => a1=45 (Cozum)
real b=60, c=15;

pair B=(0,0);
pair C=(7,0);

real AB=length(C-B)*sin(c*pi/180)/sin((180-b-c)*pi/180);
pair A=B+AB*dir(b);

pair D=C+3*AB*dir(180);  // DC=3*AB (k2=AB:DC=1/3)

draw(A--B--C--cycle);
draw(A--D);

draw(anglemark(C,B,A));
label("$60^\circ$", anglemark(C,B,A), NE*0.6+1);

markangle("$15^\circ$", A, C, B);

// --- COZUM ICIN EKLENENLER ---
pair E = extension(A, A + rotate(90)*(A-B), B, C);   // BAE = 90

pair bpt(pair V, pair P1, pair P2, real r){
  real ang1=degrees(P1-V);
  real ang2=degrees(P2-V);
  real amid=(ang1+ang2)/2;
  return V+r*dir(amid);
}

draw(A--E, red);
draw(C--E, red);


draw(anglemark(B,A,D,15), blue);
label("$45^\circ$", bpt(A,B,D,0.85), blue);

draw(anglemark(D,A,E,15), blue);
label("$45^\circ$", bpt(A,D,E,0.85), blue);

draw(anglemark(A,E,B,15), red);
label("$30^\circ$", bpt(E,A,B,0.65), red);

markangle("$15^\circ$", E, A, C, red);

pair lpt(pair P, pair Q, real t, real d, real side){
  pair M = P + t*(Q-P);
  pair n = unit(rotate(90)*(Q-P));
  return M + side*d*n;
}

label("$1$", midpoint(A--B), W, red);
label("$\sqrt{3}$", lpt(A,E,0.5,0.3,-1), red);
label("$\sqrt{3}$", midpoint(E--C), S, red);

dot(A); dot(B); dot(C); dot(D);
dot(E, red);
label("$A$", A, NW);
label("$B$", B, SW);
label("$C$", C, SE);
label("$D$", D, S);
label("$E$", E, S, red);

$DC=3\cdot AB=3$ olsun.
$BA$ ya $A$ da dik olan doğru $BC$ yi $E$ de kessin.
$\angle AEB= 2\angle ACE = 2\angle EAC = 30^\circ$.
$BE=2$ ve $AE=EC=\sqrt 3$.
$DE=3-\sqrt 3$ ve $BD=2-(3-\sqrt 3) = \sqrt 3 - 1$.
$AB:AE = DB:DE$ olduğu için $\triangle BAE$ de $AD$ açıortay ve $\angle BAD = 45^\circ$. $\blacksquare$

Çözüm 2:

Karakteristik trigonometrik denklemden,

$\dfrac {AB}{CD} = \dfrac {\sin \angle ADC \cdot \sin \angle ACD}{\sin \angle ABC \cdot \sin \angle ACB}$

$\dfrac 13 = \dfrac {\sin ( 60^\circ + \alpha) \sin 15^\circ}{\sin 60^\circ \sin (105^\circ - \alpha)}$.

$\begin{aligned}
\dfrac {\sin ( 120^\circ - \alpha)}{\sin (105^\circ - \alpha)} &= \dfrac {\sin 60^\circ}{3\sin 15^\circ} \cdot \dfrac {\sin 75^\circ}{\sin 75^\circ} \\
&= \dfrac {\sin 75^\circ}{2\sqrt 3 \sin 15^\circ \sin 75^\circ} \\
&= \dfrac {\sin 75^\circ}{\sqrt 3 \cdot \sin 30^\circ} \\
&= \dfrac {\sin 75^\circ}{\sin 60^\circ}
\end{aligned}$.

Bu durumda $\alpha = 45^\circ$ olur. $\blacksquare$

Başlık: Ynt: (k₂ = 1/3, N=1) Kesen Problemi
Gönderen: geo - Temmuz 04, 2026, 03:16:28 ös

Problem:
$(k_2=1/3, N=1.4) \equiv (b=60^\circ, a_2=60^\circ) \Longrightarrow a_1=45^\circ$

size(10cm);

// (k2=1/3, N=1.4): b=60, a2=60 => a1=?
real b=60, c=15;

pair B=(0,0);
pair C=(7,0);

real AB=length(C-B)*sin(c*pi/180)/sin((180-b-c)*pi/180);
pair A=B+AB*dir(b);

pair D=C+3*AB*dir(180);  // DC=3*AB (k2=AB:DC=1/3)

draw(A--B--C--cycle);
draw(A--D);

draw(anglemark(C,B,A));
label("$60^\circ$", anglemark(C,B,A), NE*0.6+1);

draw(anglemark(D,A,C));
label("$60^\circ$", anglemark(D,A,C), SE*0.5);

draw(anglemark(B,A,D, 10), red);
label("$ $", anglemark(B,A,D), -NE+0.7);

label("$1$", midpoint(A--B), W);
label("$3$", midpoint(D--C), S);

dot(A); dot(B); dot(C); dot(D);
label("$A$", A, NW);
label("$B$", B, SW);
label("$C$", C, SE);
label("$D$", D, S);

Çözüm 1:
$\angle BAE = 60^\circ$ olacak şekilde $[BC]$ üzerinde $E$ noktası alalım. ($E$, $[BD]$ üzerinde olamaz.)

size(10cm);

real b=60, c=15;
pair B=(0,0);
pair C=(7,0);
real AB=length(C-B)*sin(c*pi/180)/sin((180-b-c)*pi/180);
pair A=B+AB*dir(b);
pair D=C+3*AB*dir(180);

draw(A--B--C--cycle);
draw(A--D);

draw(anglemark(C,B,A));
label("$60^\circ$", anglemark(C,B,A), NE*0.3+1);

draw(anglemark(D,A,C));
label("$60^\circ$", anglemark(D,A,C), SE*0.5);

// --- COZUM ICIN EKLENENLER ---
pair E = B + AB*dir(0);   // BE=AB=1
pair H = extension(D, D+rotate(90)*(A-B), A, B);   // D'den AB'ye inen dikmenin ayagi

void dimline(pair P, pair Q, real off, real tl, string lbl, real loff, pen p){
  pair n = unit(rotate(90)*(Q-P));
  pair d = unit(Q-P);
  pair P2 = P + off*n;
  pair Q2 = Q + off*n;
  draw(P2--Q2, p);
  draw(P2-tl*d -- P2+tl*d, p);
  draw(Q2-tl*d -- Q2+tl*d, p);
  label(lbl, (P2+Q2)/2 + loff*n, p);
}

void rightmark(pair O, pair P, pair Q, real s, pen p){
  pair d1 = s*unit(P-O);
  pair d2 = s*unit(Q-O);
  draw(O+d1 -- O+d1+d2 -- O+d2, p);
}

dimline(B, A, 0.65, 0.05, "$1$", 0.18, black);
dimline(D, C, -0.9, 0.05, "$3$", -0.18, black);
dimline(B, E, -0.5, 0.05, "$1$", -0.13, red);

label("$x$", midpoint(B--D), S*0.25, red);
label("$x/2$", midpoint(B--H), W*0.35, red);

draw(A--E, red);
draw(anglemark(A,E,B), red);

draw(D--H, red+dashed);
rightmark(H, D, B, 0.15, red);

dot(E, red);
dot(H, red);
label("$E$", E, S, red);
label("$H$", H + 0.25*unit(rotate(90)*(A-B)), red);

dot(A); dot(B); dot(C); dot(D);
label("$A$", A, N);
label("$B$", B, S);
label("$C$", C, SE);
label("$D$", D, S);

$AB=1$, $BD=x$ dersek; $DE=1-x$, $AE=1$.
$AD^2 = AB\cdot AC - BD\cdot DE = 1 - x(1-x) = x^2 - x+1$.
$\triangle ADE \sim \triangle ACD$ olduğu için $AD^2 = DE\cdot DC = 3(1-x)$.

$x^2 - x + 1 = 3 - 3x \Longrightarrow x^2 + 2x - 2 = 0$. Buradan $x=\sqrt 3 - 1$.
$D$ den $AB$ ye inilen yüksekliğin ayağı $H$ olsun.
$BH=\dfrac {\sqrt 3 - 1}{2}$, $DH=\dfrac {3-\sqrt 3 }{2}$, $HA = 1 - \dfrac {\sqrt 3 - 1}{2} = \dfrac {3-\sqrt 3}{2}$.
Bu durumda, $HA=DH$ ve $\angle BAD = 45^\circ$ olur. $\blacksquare$


Çözüm 2:
Karakteristik trigonometrik denklemden,

$\dfrac {AB}{CD} = \dfrac {\sin \angle ADC \cdot \sin \angle ACD}{\sin \angle ABC \cdot \sin \angle ACB}$

$\dfrac 13 = \dfrac {\sin ( 60^\circ + \alpha) \sin (60^\circ - \alpha)}{\sin 60^\circ \sin 60^\circ}$.

$2\sin ( 60^\circ + \alpha) \sin (60^\circ - \alpha) = \cos 2\alpha - \cos 120^\circ$.

$\dfrac 12 = \cos 2\alpha + \dfrac 12 \Longrightarrow 2\alpha = 90^\circ$ ve $\alpha = 45^\circ$. $\blacksquare$

Başlık: Ynt: (k₂ = 1/3, N=1) Kesen Problemi
Gönderen: geo - Temmuz 04, 2026, 09:10:46 ös

Problem:
$(k_2=1/3, N=1.3) \equiv (b=60^\circ, a_1=45^\circ) \Longrightarrow a_2=60^\circ$

size(15cm);

real b=60, c=15;
pair B=(0,0);
pair C=(7,0);
real AB=length(C-B)*sin(c*pi/180)/sin((180-b-c)*pi/180);
pair A=B+AB*dir(b);
pair D=C+3*AB*dir(180);

draw(A--B--C--cycle);
draw(A--D);

draw(anglemark(C,B,A));
label("$60^\circ$", anglemark(C,B,A), NE*0.6+1);

draw(anglemark(B,A,D));
label("$45^\circ$", anglemark(B,A,D), S*2 - 0.3);

draw(anglemark(D,A,C, 10), red);
label("$ $", anglemark(D,A,C), SE*0.5);

label("$1$", midpoint(A--B), W);
label("$3$", midpoint(D--C), S);

dot(A); dot(B); dot(C); dot(D);
label("$A$", A, NW);
label("$B$", B, SW);
label("$C$", C, SE);
label("$D$", D, S);

Çözüm 1:

$AB$ ye $A$ da dik olan doğru, $BC$ yi $E$ de kessin.
$\triangle BAE$ dik üçgeninde $AD$ açıortaydır.
$AB=1$ ise $BE=2$, $AE=\sqrt 3$. Açıortay Teoreminden $BD=\sqrt 3 - 1$ ve $DE=3 - \sqrt 3$. Bu durumda, $EC=3-(3- \sqrt 3) = \sqrt 3 = AE$.
$\angle CAD = 45^\circ + 15^\circ = 60^\circ$. $\blacksquare$

Çözüm 2:

Karakteristik trigonometrik denklemden,

$\dfrac {AB}{CD} = \dfrac {\sin \angle ADC \cdot \sin \angle ACD}{\sin \angle ABC \cdot \sin \angle ACB}$

$\dfrac 13 = \dfrac {\sin 105^\circ \sin (75^\circ - \alpha)}{\sin 60^\circ \sin \alpha}$.

$\dfrac 13 = \dfrac {\cos 15^\circ \sin (75^\circ - \alpha)}{\frac {\sqrt 3}2 \cdot \sin \alpha} \cdot \dfrac {\sin 15^\circ}{\sin 15^\circ}$.

$\dfrac {\sin \alpha}{\sin (75^\circ - \alpha)} = \dfrac {\sin 30^\circ \cdot \sqrt 3}{ \sin 15^\circ} = \dfrac {\sin 60^\circ}{\sin 15^\circ}$.

$\alpha = 60^\circ$. $\blacksquare$

Başlık: Ynt: (k₂ = 1/3, N=1) Kesen Problemi
Gönderen: geo - Temmuz 04, 2026, 09:51:10 ös

Problem:
$(k_2=1/3, N=1.6) \equiv (c=15^\circ, a_2=60^\circ) \Longrightarrow a_1=45^\circ$

unitsize(1cm);
real b=60, c=15;
pair B=(0,0);
pair C=(7,0);
real AB=length(C-B)*sin(c*pi/180)/sin((180-b-c)*pi/180);
pair A=B+AB*dir(b);
pair D=C+3*AB*dir(180);

draw(A--B--C--cycle);
draw(A--D);

// given: c = angle at C (black)
draw(anglemark(A,C,D, 20));
label("$15^\circ$", anglemark(A,C,B, 16), W*8.0+N*1.3);
// given: a2 = angle DAC (black)
draw(anglemark(D,A,C));
label("$60^\circ$", anglemark(D,A,C), SE*0.7+S*0.2);

// asked: a1 = angle BAD (blank)
label("$ $", anglemark(B,A,D, 10), SW*0.5+S*0.2);
draw(anglemark(B,A,D), red);



// length labels
label("$1$", midpoint(A--B), W);
label("$3$", midpoint(D--C), S);

dot(A); dot(B); dot(C); dot(D);
label("$A$", A, N);
label("$B$", B, SW);
label("$C$", C, SE);
label("$D$", D, S);

Çözüm:

$[AC]$ üzerinde $ADE$ eşkenar üçgen olacak şekilde $E$ noktası alalım. $DEC$ üçgeninin çevrel merkezi $O$ olsun. $EO$ ile $CD$, $F$ de kesişsin.

$\angle ADE = 60^\circ$, $\angle EDF = 45^\circ$, $\angle EOC = 90^\circ$. $\angle FDO = \angle FCO = 30^\circ$.
$DC=3$ ise $DO=CO=\sqrt 3$.
$OF=1$, $FC=2$, $DF=1$.
$\triangle ABD$ ile $\triangle DFE$ üçgenlerini inceleyelim.
$AB=DF$ ve $\angle ADB = \angle DEF = 75^\circ$ olduğu için Sinüs teoremi gereği $\sin \angle ABD = \sin \angle DFE = \sin 60^\circ$ olacaktır. $\angle ABD = 120^\circ$ olamayacağı için $\angle ABD = 60^\circ$ dir.