Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2026 => Konuyu başlatan: geo - Mayıs 20, 2026, 09:02:32 ös
-
$d(n)$ ile $n$ pozitif tam sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı gösterilmek üzere, $d(m^k)=3\cdot d(m)$ eşitliğini sağlayan en az bir $k$ pozitif tam sayısının olmasını sağlayan ve asal olmayan $m$ pozitif tam sayılarına güzel sayı diyelim. $2026$ dan küçük kaç tane güzel sayı vardır?
$\textbf{a)}\ 12 \qquad \textbf{b)}\ 14 \qquad \textbf{c)}\ 16 \qquad \textbf{d)}\ 18 \qquad \textbf{e)}\ 20$
-
Cevap: $\boxed{E}$
$m=1$'in hiçbir durumda eşitliği sağlamadığı görülebilir. Dolayısıyla, $m>1$'dir ve asal çarpanlarına ayırabiliriz. $p_i$'ler farklı asallar ve $a_i>0$ tamsayılar olmak üzere $m=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_s^{a_s}$ şeklinde asal çarpanlarına ayırırsak, $d(m)=(a_1+1)(a_2+1)\cdots (a_s+1)$ formülünden, bize verilen denklemin $$(ka_1+1)(ka_2+1)\cdots (ka_s+1)=3(a_1+1)(a_2+1)\cdots (a_s+1)$$ olduğu görülür. $k=1$ için çözüm olmadığı kolayca görülebilir.
$s=1$ ise $ka_1+1=3a_1+3$ elde edilir. $(k-3)a_1=2$ elde edilir. $(k,a_1)=(4,2),(5,1)$ olabilir ancak $m$ asal olmadığından $m=p^2$ formatında olmalıdır. $s\geq 2$ kabul edelim.
$k\geq 3$ ise $$(ka_1+1)(ka_2+1)\geq (3a_1+1)(3a_2+1)=9a_1a_2+3a_1+3a_2+1=3(a_1+1)(a_2+1)+6a_1a_2-2> 3(a_1+1)(a_2+1)$$ olduğundan ve diğer terimlerde de $(ka_i+1)>a_i+1$ olduğundan çelişki elde ederiz. Yani $k\leq 2$ olmalıdır. $k=1$ olamayacağından $k=2$ olmak zorundadır.
Yani elimizdeki denklem artık $$(2a_1+1)(2a_2+1)\cdots (2a_s+1)=3(a_1+1)(a_2+1)\cdots (a_s+1)$$ şeklindedir. Bu durumda $$3=\frac{2a_1+1}{a_1+1}\cdot\frac{2a_2+1}{a_2+1}\cdots \frac{2a_s+1}{a_s+1}$$ olarak yazarsak, $\frac{2a_i+1}{a_i+1}=2-\frac{1}{a_i+1}$ olduğundan artandır. Yani $$3\geq\left(\frac{3}{2}\right)^s$$ olacağından $s\leq 2$ olacaktır yani $s=2$ olmak zorundadır. Yani $k=2$ ve $m=p^aq^b$ formatında olmalıdır. $$(2a+1)(2b+1)=3(a+1)(b+1)\iff (a-1)(b-1)=3\iff (a,b)=(2,4),(4,2)$$ elde edilir. Aradığımız sayılar $p^2$ veya $p^2q^4$ formatındaki sayılardır. $2026$'dan küçük tamkareler $1^2,2^2,\cdots,45^2$'dir. Bunlardan asal olanlar $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43$ olduğundan $m=p^2$ olan $14$ çözüm gelir. $pq^2$ formatında olanlar ise $12,18,20,28,44,45$ olduğundan $m=p^2q^4$ olan $6$ çözüm gelir. Dolayısıyla, $20$ tane $m$ vardır.