Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2026 => Konuyu başlatan: geo - Mayıs 20, 2026, 08:59:39 ös
-
$2x^2-3xy=63$ eşitliğini sağlayan $x$ ve $y$ pozitif gerçel sayıları için, $5x-7y$ ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
$\textbf{a)}\ 7 \qquad \textbf{b)}\ 8 \qquad \textbf{c)}\ 10 \qquad \textbf{d)}\ 12 \qquad \textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$
-
Cevap: $\boxed{E}$
$5x-7y=\lambda$ diyelim, $\lambda$'nın en küçük değerini arıyoruz. $y=\frac{5x-\lambda}{7}$ yazarsak, $x>\frac{\lambda}{7}$ olur ve $$63=2x^2-3x\left(\frac{5x-\lambda}{7}\right)=\frac{-x^2+3x\lambda}{7},$$ dolayısıyla, $$x^2-3x\lambda+441=0$$ bulunur. Bu denklemin pozitif kökü olmalıdır, dolayısıyla, $\Delta\geq 0$ ve $\lambda>0$ olmalıdır ($\Delta\geq 0$ ise kökü vardır, köklerin çarpımı $441$ pozitif olduğundan köklerin toplamı, yani $3\lambda$ pozitif olmalıdır). Diskriminant $\Delta=9\lambda^2-4\cdot 441\geq 0$ olduğundan $\lambda\geq 14$ bulunur. Yani en küçük değer en az $14$'dür ($14$'dür demiyoruz) ancak şıklardan hiçbiri $14$'den büyük olmadığından cevap "Hiçbiri" olacaktır. Böyle bir $\lambda$ yoksa da cevap otomatik olarak hiçbiri olacaktır.
Yine de $\lambda=14$'ü teyit edelim. $x^2-3x\lambda+441=(x-21)^2=0$ olur. $x=21$ bir çözümdür. Yerine yazarsak, $y=13$ bulunur. Yani gerçekten de minimum değer $14$'dür.