Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2026 => Konuyu başlatan: geo - Mayıs 20, 2026, 08:58:54 ös

Başlık: Tübitak Lise 1. Aşama 2026 Soru 17
Gönderen: geo - Mayıs 20, 2026, 08:58:54 ös

Tüm köşeleri aynı çember üzerinde yer alan bir $ABCDE$ beşgeninde $AC$ ve $BE$ köşegenlerinin kesişim noktası $G$ olsun. $|AB|=|BC|=|CD|=|DE|=6$ ve $|BG|=4$ ise $|AC|$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 3\sqrt{10} \qquad \textbf{b)}\ 4\sqrt{6} \qquad \textbf{c)}\ 8 \qquad \textbf{d)}\ 10 \qquad \textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Başlık: Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2026 Soru 17
Gönderen: diktendik - Mayıs 24, 2026, 10:25:47 ös

Yanıt : $\boxed{A}$

$\angle BAC=\alpha$ olsun. $\angle CBE=2\alpha$ ve $\angle BCA=\alpha$ olup $BAG$ üçgeninde sinüs teoreminden $\frac{3}{2}=\frac{\sin{3\alpha}}{\sin{\alpha}}=3-4\sin^2{\alpha}$ olup $\alpha<90^\circ$ olduğundan $\sin{\alpha}=\sqrt{\frac{3}{8}}$ olur. $|AC|=2\cdot\cos{\alpha}\cdot 6=12\cdot\sqrt{1-\sin^2{\alpha}}=12\cdot\sqrt{\frac{5}{8}}=3\sqrt{10}$ olur.

Başlık: Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2026 Soru 17
Gönderen: geo - Mayıs 25, 2026, 12:04:10 öö

$\angle BAC = \angle BCA =\angle CED =\angle ECD = \angle BEC$.
$\triangle ABC \cong \triangle CDE$, $\triangle BAG \sim \triangle CEG$.

import geometry;
import olympiad;
size(9cm);

pair O = (0, 0);
real R = 4.899;

pair A = (0, R);
pair B = (4.7434, 1.2247);
pair C = (2.3717, -4.2866);
pair D = (-3.5576, -3.3680);
pair E = (-4.1505, 2.6026);
pair G = (0.7906, 1.8371);

// Cember
draw(circle(O, R));

// Besgen kenarlari
draw(A--B--C--D--E--cycle);

// Kosegenler AC ve BE
draw(A--C);
draw(B--E);
draw(E--C);

// Esit kenar isaretleri (AB=BC=CD=DE=6)
draw(pathticks(A--B, 1, 0.5, 1, 8));
draw(pathticks(B--C, 1, 0.5, 1, 8));
draw(pathticks(C--D, 1, 0.5, 1, 8));
draw(pathticks(D--E, 1, 0.5, 1, 8));

// Aci isaretleri: angle_BAC = angle_BCA = alpha
draw(anglemark(B, A, C, 30));
draw(anglemark(A, C, B, 30));
draw(anglemark(B,E,C,30));

// BG = 4 etiketi
label("$4$", (B + 2*G)/3, dir(30));
label("$6$", (2*A + B)/3, dir(30));
label("$2x$", (G + C)/2, dir(30));
label("$3x$", (E + C)/2, dir(45));



// Noktalar
dot("$A$", A, N);
dot("$B$", B, NE);
dot("$C$", C, SE);
dot("$D$", D, SW);
dot("$E$", E, W);
dot("$G$", G, NW);

$\dfrac{AB}{BG}=\dfrac{EC}{CG}=\dfrac 64$. $EC=AC=3x$ dersek, $AG=x$ ve $CG=2x$ olur.
$\triangle BAC$ de, Stewart'ın özel halinden $36 = 16 +2x^2 \Longrightarrow x =\sqrt{10}$.
$AC=3\sqrt {10}$

Başlık: Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2026 Soru 17
Gönderen: geo - Mayıs 25, 2026, 12:16:46 öö

$\angle BAC = \angle BCA =\angle CED =\angle ECD = \angle BEC$.
$\triangle ABC \cong \triangle CDE$, $\triangle BCG \sim \triangle BEC$.

$\dfrac{BG}{BC}=\dfrac{CG}{EC}=\dfrac {BC}{BE} =\dfrac 46$.
$BE=9$, $EG=5$. $EC=AC=3x$ dersek, $CG=2x$ ve $AG=x$ olur.
$AG\cdot GC = BG\cdot GE$, $2x^2=4\cdot 5 = 20$. $x=\sqrt{10}$. $AC =3x =3\sqrt{10}$.