Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2026 => Konuyu başlatan: geo - Mayıs 20, 2026, 08:52:35 ös
-
Kaç farklı $n$ pozitif tam sayısı için, $n$ sayısının basamaklarının çarpımı $2n-276$ olur?
$\textbf{a)}\ 0 \qquad \textbf{b)}\ 1 \qquad \textbf{c)}\ 2 \qquad \textbf{d)}\ 3 \qquad \textbf{e)}\ 4$
-
Cevap: $\boxed{C}$
$a_1\neq 0$ ve $a_1,a_2,\dots,a_k$ rakamlar olmak üzere $n=\overline{a_1a_2\dots a_k}$ olsun. Bizden $2n-276=a_1a_2\cdots a_k$ olması isteniliyor. Eğer rakamlardan biri $0$ olsaydı $2n-276=0$, yani $n=138$ olması gerekirdi ki bu da bariz şekilde çelişkidir. Ayrıca $2n-276>0$ olduğundan $n$ en az üç basamaklıdır, yani $k\geq 3$'dür. $$a_1\cdot 9^{k-1}\geq a_1a_2\cdots a_{k}=2n-276\geq 2a_1\cdot 10^{k-1}-276$$ olacaktır. Yani $$276\geq a_1(2\cdot 10^{k-1}-9^{k-1})\geq 2\cdot 10^{k-1}-9^{k-1}$$ elde edilir. $10^{k-1}$ ve $9^{k-1}$ artan olduklarından ve $10>9$ olduğundan $10^{k-1}$ fonksiyonu $9^{k-1}$'e göre çok daha hızlıdır, yani sağ taraf artandır. Dolayısıyla, eğer $k\geq 4$ ise $$276\geq 2\cdot 10^{k-1}-9^{k-1}\geq 2\cdot 10^3-9^3=1271$$ çelişkisi elde edilir. Sonuç olarak $k=3$ buluruz.
Artık sayımıza $n=\overline{abc}=100a+10b+c$ diyelim. Artık elimizdeki eşitlik $$200a+20b+2c=abc+276$$ şeklindedir. Yukarıdaki bulduğumuz eşitsizlikten, $$276\geq a(2\cdot 10^2-9^2)=119a$$ elde edileceğinden $a=1$ veya $a=2$'dir.
$a=1$ ise $$20b+2c=bc+76$$ elde edilecektir. Denklemi düzenlersek, $$(b-2)(20-c)=36$$ bulunur. $36$'nın bölenlerini denersek, $(b,c)=(5,8),(4,2)$ çözümleri bulunur. Yani $n=158$ ve $n=142$ birer çözümdür.
$a=2$ ise $62+10b+c=bc$ elde edilir. Denklemi düzenlersek, $(b-1)(c-10)=72$ elde edilir ancak $1\leq b,c\leq 9$ olduğundan çözüm yoktur.
Tüm çözümler $n=142$ ve $n=158$ olarak bulunur.