Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Ortaokul 2. Aşama => 2025 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Aralık 23, 2025, 11:16:04 öö
-
$1 \leq a_1 \leq a_2 \leq \dots \leq a_{16} \leq 33$ gerçel sayılar olmak üzere, $$P=\dfrac{a_1}{a_2} + \dfrac{a_3}{a_4} + \dots + \dfrac{a_{15}}{a_{16}}$$ ifadesinin alabileceği en küçük değeri bulunuz.
-
Bu ifadede $a_{16}$ dışındaki tüm terimleri sabitlersek, $$P_1(x):=\frac{a_1}{a_2}+\cdots+\frac{a_{15}}{x},\qquad x\in [a_{15},33]$$ olarak düşünebiliriz. Bu ifade en küçük değerini $x=33$ iken alacağından, $a_{16}=33$ seçmeliyiz. Şimdi de $a_{15}$ dışındakileri sabitleyelim. $$P_2(x)=\frac{a_1}{a_2}+\cdots+\frac{a_{13}}{a_{14}}+\frac{x}{33},\qquad x\in [a_{14},33]$$ olacağından en küçük değer için $a_{15}=a_{14}$ seçilmelidir. Bu şekilde ilerlersek, $n=1,2,\dots,7$ için $a_{2n}=a_{2n+1}$ bulunur. $a_1$'i sabitlediğimizde $a_1=1$ seçmemiz gerektiğini buluruz. Dolayısıyla, soruyu "en küçük değeri bulmak" şartı altında şuna indirgemiş oluruz: $1\leq b_1\leq b_2\leq\cdots\leq b_{7}\leq 33$ için $$P=\frac{1}{b_1}+\frac{b_1}{b_2}+\frac{b_2}{b_3}+\cdots+\frac{b_{6}}{b_7}+\frac{b_7}{33}$$ ifadesinin en küçük değeri nedir?
Aritmetik-Geometrik ortalama eşitsizliğinden, $$P\geq \frac{8}{\sqrt[8]{33}}$$ bulunur. Eşitlik durumu da $\frac{1}{b_1}=\frac{b_1}{b_2}=\cdots=\frac{b_6}{b_7}=\frac{b_7}{33}$ durumunda elde edilir. Bu eşitlik durumundan $b_1,b_2,\dots, b_7$'yi çekebiliriz. $$(b_1,b_2,\dots,b_7)=\left(33^{1/8},33^{2/8},33^{3/8},\dots,33^{7/8}\right)$$ bulunur. Bu eşitlik durumunu ana probleme de çekebiliriz. $$(a_1,a_2,\dots,a_{16})=(1,33^{1/8},33^{1/8},33^{2/8},33^{2/8},\dots,33^{7/8},33^{7/8},33)$$ durumunda ifade en küçük değerini alır. Bu en küçük değer de $8\cdot 33^{-1/8}$'dir.