Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Uluslararası Matematik Olimpiyatı => 2025 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Temmuz 19, 2025, 12:45:07 öö

Başlık: Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2025 Soru 1
Gönderen: matematikolimpiyati - Temmuz 19, 2025, 12:45:07 öö

Düzlemdeki bir doğru; $x$-ekseni, $y$-ekseni ve $x+y=0$ doğrularının hiçbirine paralel değilse bu doğruya $\textit{parlak}$ diyelim.

$n\geq 3$ verilmiş bir pozitif tam sayı olsun. Hangi $k$ negatif olmayan tam sayıları için, düzlemde aşağıdaki koşulları sağlayan $n$ farklı doğrunun bulunduğunu belirleyiniz:

• $a+b \leq n+1$ koşulunu sağlayan tüm $a$, $b$ pozitif tam sayıları için, $(a,b)$ noktası bu doğrulardan en az birinin üzerindedir;

• bu $n$ tane doğrunun tam olarak $k$ tanesi parlak doğrudur.

(Amerika Birleşik Devletleri)

Başlık: Ynt: Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2025 Soru 1
Gönderen: diktendik - Şubat 11, 2026, 03:24:20 öö

Öncelikle $n=3$ için barizce çözüm kümesi $k=0,1,3$ olur. Belirtilen koşullar altında herhangi bir $k$ tamsayısı için en az bir parlak olmayan doğrunun $n$ noktadan geçmesi gerektiğini gösterirsek bir $n$ için koşulları sağlayan parlak doğru sayısı $m$, $n-1$ sayısı için $m-1$ parlak doğru sayısına denk olur ve tümevarımla parlak doğru sayısı $n=3$ durumundaki $0,1,3$ ile sınırlı olur. Şimdi en az bir parlak olmayan doğrunun $n$ adet noktadan geçtiğini gösterelim. Aksi durumda tüm parlak olmayan doğrular kenarları $n-2$'şer nokta içeren iç ücgensel bölgededir. $n-x$ parlak doğrulu konfigürasyon için bu iç bölgedeki $x$ parlak olmayan doğru en dış bölgedeki noktalardan en fazla $2$'şer tanesini keser, geriye kalan $n-x$ adet doğru parlak olmadığından ve şekilde en az 3'ü doğrusal olan noktalardan geçen tüm doğrular parlak olmayan olduğundan bu $n
-x$ doğru da bu dış kenarlarda en fazla 2'şer nokta keser ve dış kenarda en fazla $2n$ nokta kesilebilir fakat bu dış kenarlar toplam $3n-3$ nokta içerdiğinden $2n\geq 3n-3$ gelir. Çelişki. Yani en az bir parlak olmayan doğru $n$ adet noktadan geçer ve bu durumda $n$ için oluşan tüm durumlar $n-1$ için oluşan tüm durumların bir adet fazla parlak olmayan doğrulu versiyonudur. Cevap $k=0,1,3$ olur.